Задача потребителя. 
Микроэкономика

Существует несколько способов описания оптимизационной задачи, с которой сталкивается потребитель. Один из таких способов — это нахождение точки, доставляющей наибольшую полезность на соответствующем множестве. В случае совершенного рынка потребитель с экзогенно заданным фиксированным доходом у сталкивается со стандартной задачей выбора такой корзины товаров х из множества X, чтобы достичь максимума полезности при следующем бюджетном ограничении:

(1.6).

Можно посмотреть на оптимизационную задачу потребителя и с другой стороны. Зафиксируем целевой уровень полезности и найдем наименьший бюджет, позволяющий потребителю достичь данного уровня. Таким образом, получим эквивалентную оптимизационную задачу, которую в экономике называют двойственной, заключающуюся в минимизации бюджета при ограничениях неотрицательности и ограничении на полезность.

(1.7).

где v — экзогенно заданный уровень полезности. Рассмотрим рис. 1.3.

Рис. 1.3. Два взгляда на оптимизационную задачу потребителя На рис. 1.3а описывается максимизация полезности при данном бюджетном ограничении, на рис. 1.36-минимизация издержек при достижении некоторого данного уровня полезности.

Из взаимосвязи задач минимизации издержек и максимизации полезности вытекают некоторые важные результаты.

Представим задачу максимизации полезности в виде задачи максимизации лагранжиана.

(1.8).

где - множитель Лагранжа.

Условия первого порядка, характеризующие максимум полезности, имеют вид.

(1.9).

Кроме того, при решении задачи бюджетное ограничение должно быть выполнено как равенство:

(1.10).

Из условий первого порядка (1.9) следует, что если, максимизируя свою полезность, потребитель приобретает положительное количество блага i, то для любого другого блага) выполнено.

(1.11).

причем данное соотношение выполняется как равенство, если благо) также может потребляться в положительном количестве. Таким образом, если максимизирующие полезность количества двух благ положительны, то имеет место следующее соотношение MRSiJ = соотношение цен.

Графически это означает, что в оптимуме происходит касание кривых безразличия и бюджетного ограничения.