Функция полезности фон Неймана – Моргенштерна

Теория полезности Неймана — Моргенштерна исследует предпочтения на множестве лотерей, удовлетворяющих приведенным выше аксиомам.

Выбор потребителя в условиях риска и неопределенности основан на том, что ожидаемые ценности возможных альтернатив ранжируются самостоятельно^[1].

Пусть индивид, принимающий решение, выбирает одну из взаимоисключающих альтернатив Ai, где i = 1,…, I. При этом предполагается, что число альтернатив конечно. В этом случае результат будет зависеть и от выбора индивида, и от той ситуации, которая сложится. Будущие ситуации индивид может указать, и они обозначаются символами , где . Пусть вероятности ситуации и . Если индивид выбирает i-ю альтернативу и случается s-я ситуация, то следствия однозначны. Тогда можно быть уверенным в результате . Это означает, что имеется результат i-й альтернативы при наступлении s-й ситуации. Тогда получается матрица результатов:

Предполагается, что индивиды не могут договариваться между собой и согласовывать свои действия, результаты THnaxis не имеют многопериодного изменения и вступают в силу в один и тот же момент времени, результат означает будущее благосостояние лица, принимающего решение в том случае, если он выбирает ню альтернативу, приводящую к s-й ситуации.

Рассмотрим принцип Бернулли, который определяет оптимальную альтернативу индивида. Вначале матрица результатов трансформируется в матрицу полезности с учетом функции полезности . Если функция полезности задана, то каждому результату можно приписать однозначную величину полезности :

Каждую альтернативу можно изобразить с помощью возможного объема полезности и соответствующих вероятностей наступления конкретных ситуаций:

Рассчитаем значения предпочтений каждой альтернативы как ожидаемых величин соответствующих распределений полезности:

Если воспользоваться математическим ожиданием, то функция примет вид.

В этом случае лотерея с максимальной ожидаемой величиной будет оптимальной

Рассмотрим некоторые примеры функций полезности. Почти все типы функций полезности из ординалистского подхода могут быть рассмотрены с точки зрения неопределенности, Если товары — полные субституты, то введение вероятности приводит к виду.

Другим примером является функция Кобба — Дугласа:

В этом случае полезность, приписываемая набору товаров, зависит нелинейно от структуры потребления. Поэтому для удобства практического использования функции Кобба — Дугласа берется логарифм этой функции:

В дальнейшем для удобства будем обозначать ожидаемую полезность (EU) как ожидаемую ценность каждого из возможных вариантов, а через U (M) — ожидаемую ценность денег (капитала).

Пример 3.1.

Рассмотрим условия игры с подбрасыванием монеты. Выпадает «орел» — выигрываете 100 руб., выпадает «решка» — проигрываете 1 руб. Вероятность варианта выпадения «орел» или «решка» одинакова (0,5).

Тоща ожидаемая полезность:

Ожидаемая полезность — это средневзвешенное всех возможных вариантов результатов игры.

Будем рассматривать результат игры с точки зрения общей суммы денег для игрока. Тогда ожидаемая полезность:

где - начальный уровень денег. Функция U представляет количественное измерение удовлетворенности, определяемое различными результатами игры.

Допустим, руб.

Тогда в случае выигрыша капитал составит:

или 1/(1100).

В случае проигрыша: 1000 руб. — 1 руб. = 999 руб., или 11(, 999). Ожидаемая полезность.

Вы принимаете участие в игре, если EU > E (M0). В нашем случае т. е. вы играете.

Это и есть критерий фон Неймана — Моргенштерна.

Пример 3.2

Рассмотрим другой пример. Пусть функция полезности имеет вид: . Начальный капитал руб.

Вы можете выбрать одну из трех игр.

• 1-я игра — условия примера 1.
• 2-я игра: выпадает «орел» — выигрываете 200 руб.;

выпадает «решка» — проигрываете 100 руб.

3-я игра: выпадает «орел» — выигрываете 20 000 руб.;

выпадает «решка» — проигрываете 10 000 руб. (Проигравший имеет право выплачивать долг небольшими суммами 20 лет ежемесячно.).

Ожидаемая полезность:

• 1)
• 2)
• 3)

Третья игра непривлекательна, так как График представлен на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Функция полезности Функция U (M) является вогнутой, так как для любой пары значений кривая расположена над хордой, соединяющей точки:

Функция U (M) имеет снижающуюся предельную полезность капитала.

Пример 3.3

Теперь рассмотрим справедливую, безобидную игру. Это игра, когда ожидаемая ценность игры равна 0:

• • выпадает «орел» — выигрываете 30 руб.;
• • выпадает «решка» — проигрываете 30 руб.;
• • вероятность выигрыша р = 0,5;
• • вероятность проигрыша (1 -р) = 0,5.

Рассмотрим ожидаемую полезность при

Люди, оценивающие каждое событие отдельно, придают значение выигрышу меньшее, чем потере (рис. 3.2), причем многие могут отказываться принимать события в совокупности и рассматривать увеличение дохода в целом.

Согласно модели рационального поведения любое сочетание событий приводит к увеличению общей полезности.

Рис. 3.2. Функция потерь.

Функция ценности Клиеманна — Тверски:

• 1) люди ассиметрично толкуют доходы и потери, потерям придают больший вес, чем доходам;
• 2) люди сначала оценивают отдельные события, а затем суммируют эти оценки.

• [1] Первоначальная идея учета риска и неопределенности в поведении индивида принадлежит видному математику Д. Бернулли (1700−1782), изучавшему азартные игры и опубликовавшему в 1738 г. статью о петербургском парадоксе [1]. B 1943 г. идея Бернулли была аксиоматически обоснована Дж. фон Нейманом (1903−1957) и О. Моргенштерном (1902−1977) в работе «Теория игр и экономическое поведение». Ими была разработана система аксиом количественной теории полезности, из которых следовала возможность существования такой функции полезности, математическое ожидание значений которой согласовано с предпочтениями индивида. Дальнейшее развитие подхода содержалось в статье М. Фридмена (1912−2007) и Л. Сэвиджа (1917−1971).