Расчет нелинейных цепей постоянного тока аналитическими методами

Для аналитического расчета нелинейных цепей НЭ должны быть заданы в виде аналитических функций, параметры цепи или их ВАХ заменены аналитическими выражениями, т. е. аппроксимированы. В зависимости от вида аппроксимации различают методы расчета нелинейных цепей: полиномный, линеаризации ВАХ, кусочно-линейной аппроксимации ВАХ, итерационный и др. Рассмотрим относительно подробно первые два из них, вторые — концептуально.

Полиномный метод. В нелинейной электротехнике ВАХ нелинейного элемента цепи обычно аппроксимируется в виде полиномов: степенного, экспоненциального, тригонометрического и др. При этом сначала подбирают подходящую функцию ВАХ нелинейного элемента цепи так, чтобы аппроксимирующая функция описывала бы ее с погрешностью, допустимой для инженерных расчетов; затем находят неизвестные коэффициенты подобранной функции; потом производят расчет.

Рис. 9.3.

Покажем, как эго делается, на следующем качественном примере. Положим, что к цепи (рис. 9.3, а), состоящей из линейного и нелинейного резисторов R и R', ВАХ которых изображены на рис. 9.3, б, приложено постоянное напряжение U. Требуется найти ток, напряжения на участках цепи и мощность.

Решение

Положим, что заданную ВАХ R' можно аппроксимировать степенным полиномом вида.

Для простоты решения задачи ограничимся первыми двумя членами полинома (9−1), тогда.

где а_Л и а₂ подобраны (определены) в процессе аппроксимации кривой.

На основании второго закона Кирхгофа для схемы по рис. 9.3, а с учетом (9−2) запишем

откуда.

Решение этого уравнения даст значение искомого тока, т. е.

Напряжения на линейном R и нелинейном R' элементах цепи будут.

Мощность, потребляемая цепью, найдется так же, как и в линейных цепях, т. е. Р = UI.

Метод линеаризации ВАХ. До обсуждения метода линиаризации ВАХ рассмотрим некоторые понятия и определения по нелинейным сопротивлениям и их схемам замещения.

Различают статические и дифференциальные сопротивления нелинейного элемента (НЭ).

Статическим сопротивлением НЭ, ВАХ которого известна (например, выпуклая кривая 0(3я на рис. 9.4, а), называется отношение постоянного напряжения в любой точке ВАХ (например, а на рис. 9.4, а) к току, протекающему по нему. Применительно к рис. 9.4, а

где т_ьг, т_Л, m_R — масштабы t/, I, R.

Рис. 9.4.

Дифференциальным сопротивлением НЭ, ВАХ которого известна, в точке (например, а на рис. 9.4, а) называется отношение бесконечно малых приращений напряжения и тока, т. е.

Если НЭ цепи работает в какой-либо точке ВАХ (например, а на рис. 9.4, а) или в узком диапазоне напряжения и тока (например, AU и АГ) вблизи от нее, где соответствующий участок ВАХ близок к прямой (на рис. 9.4, а выделен жирной короткой линией ВАХ), то НЭ можно заменить эквивалентной схемой, состоящей из источника напряжения (или ЭДС) и линейного сопротивления, равного дифференциальному сопротивлению в рабочей точке ВАХ НЭ (а на рис. 9.4, а).

Если через точку а провести касательную к ВАХ НЭ, совпадающую с выделенным квазилинейным участком (жирный отрезок на рис. 9.4, а), и продолжить его до пересечения с осью [/, то она отсечет отрезок гпцос = U₀. С учетом этого уравнение линии ас или напряжения запишется так:

Сущность метода линеаризации ВАХ НЭ заключается в замене заданного НЭ схемой замещения, состоящей из источника ЭДС и линейного дифференциального сопротивления, после чего анализ и расчет нелинейной цени производятся с учетом этой замены, т. е. как линейной цени. С учетом всего сказанного (9−7) можно переписать так:

а линейная схема, отвечающая (9−8), представлена на рис. 9.4, б.

Рассуждая аналогично по отношению к ВАХ НЭ, изображенной на рис. 9.4, в, можно составить уравнение.

которому отвечает линейная цепь по рис. 9.4, г.

Нами рассмотрен случай, когда в цени лишь один НЭ. Если их больше, все они заменяются соответствующими линейными схемами замещения, и цепь становится линейной. В качестве примера на рис. 9.5 представлены нелинейная цепь и эквивалентная ей линейная, где R и R_{ заменены ветвями /?_л и ?₀₁—Л_д1.

Рис. 95.

Кроме того, при желании НЭ можно заменить эквивалентной схемой, состоящей из источника тока и линейной проводимости, равной дифференциальной в рабочей точке ВАХ НЭ (С_д = 1 / 7?_д). Величина же источника токаУ₀ отсекается в масштабе от оси I касательными к ВАХ НЭ (см. например, рис. 9.4, в).

О методе кусочно-линейной аппроксимации ВАХ. Метод кусочнолинейной аппроксимации заключается в замене известной ВАХ НЭ ломаной прямой с одной или несколькими точками излома. Такая замена позволяет вести расчет цепей аналитически с помощью линейных уравнений, которыми аппроксимированы ломаные прямые ВАХ. Для прямолинейных участков ВАХ записываются линейные уравнения, решения которых согласовываются: электрические величины конца первого участка приравниваются к соответствующим величинам начала второго, конца второго — к началу третьего и т.н.

Об итерационном методе. Расчет сложных нелинейных цепей итерационным методом или методом последовательных приближений сводится к произвольному заданию искомой величины (например, тока I при заданных напряжении U и ВАХ НЭ) и уточнению ее путем многократного повторения решения задачи с меняющимися значениями этой величины до тех пор, пока числовые значения искомой величины не начнут повторяться. Расчет удобно вести на компьютере с соответствующей программой.

Вопросы и задания для самопроверки

• 1. Перечислите методы расчета нелинейных цепей постоянного тока.
• 2. Как рассчитывается последовательная цепь графическим методом?
• 3. Как рассчитывается параллельная цепь графическим методом?
• 4. Как рассчитывается смешанная цепь графическим методом?
• 5. Перечислите аналитические методы расчета нелинейных цепей постоянного тока.
• 6. Как рассчитываются нелинейные цепи методом полинома?
• 7. Как рассчитываются нелинейные цепи методом линеаризации ВАХ?
• 8. В чем сущность расчета нелинейных цепей методами кусочно-линейной аппроксимации ВАХ и итерационным?

Решенная задача

Задача 9.1. В цепи по рис. 9.6 Е = 30 В, R = 20 Ом, ВАХ НЭ1 и НЭ2 соответственно заданы зависимостями I_x= a_xU + a₂U², где а_х = 0,1Л / В; а₂ = 0,003Л / В²; I₂ = b_xU + + b₂U², где b 1 = 0,04Л / В, Ь₂ = 0,02Л / В². Определить напряжения и токи в цепи методом полинома.

Рис. 9.6

Решение

Для схемы по рис. 9.6 запишем

После подстановки значений 1_Х и /₂ в приведенные равенства и соответствующих преобразований будем иметь: R (a₂ + b₂)U² + [R (a_x +b_x)+ ]U-E=Q, или 0,46/T² + 3,8/7- - 30 = 0, или /72 + 8,26/7 — 65,2 = 0″.

Решение последнего квадратного уравнения: ~ 5 В.

С учетом выражений для токов в параллельных ветвях и {/" 5 В определяем 7_t = = 0,575 А, /₂ = 0,7 А. Тогда I = /_t + /₂ = 0,575 + 0,7 = 1,275 A, U_R = IR = 1,275 • 20 = 25,5 В.

Проверка: Е = U + IR = U + U_R = 5 + 25,5 ~ 30,5 В. Ошибка составляет 1,7%, что вполне допустимо.