Оптимизация замкнутых структур

Критерии качества замкнутой системы

В примере 7, рассмотренном в предыдущем разделе, мы получали различные переходные процессы в зависимости от значений коэффициентов ПИД-регулятора. В ряде случаев, сравнивая различные переходные процессы, мы без труда можем выбрать предпочтительные варианты и отбраковать неприемлемые. Разработчик системы всегда стремится обеспечить наибольшее быстродействие, наименьшее перерегулирование и наименьшую статическую ошибку. Если же изменение какоюнибудь коэффициента вызывает одновременно улучшение одного показателя и ухудшение другого показателя качества переходных процессов, то выбрать наилучший вариант затруднительно. В частности, увеличение коэффициента может одновременно повысить быстродействие и перерегулирование, и по виду переходных процессов оператору — настройщику системы — может оказаться неясным, какой из двух вариантов переходных процессов наиболее привлекателен. Следовательно, оператору необходим критерий качества, соединяющий все остальные критерии в единую характеристику.

В ряде случаев оператор может пользоваться двумя и более критериями, и даже если при этом не будет оснований для выбора одного критерия из многих, достаточно будет указания, что оба переходных процесса удовлетворяют техническим требованиям, предъявляемым к замкнутой системе.

Но все же есть одна задача, решение которой нс может быть выполнено без единого критерия качества системы. Эта задача — автоматическая оптимизация коэффициентов регулятора.

Мы уже отмечали, что программное средство VisSim может осуществлять автоматическую оптимизацию одною или нескольких параметров, если имеется критерий качества. Критерием качества может быть любая функция, удовлетворяющая требованиям, предъявляемым к этому критерию.

• 1. Критерий должен зависеть от параметров, которые требуется оптимизировать. Зависимость может быть непосредственной или косвенной. Необязательно, чтобы эта зависимость выражалась аналитическим соотношением. Достаточно, чтобы зависимость имела место.
• 2. Критерий качества должен соответствовать целям оптимизации, а именно: чем лучше достигаются цели оптимизации, тем меньше значение критерия. В данном случае для определенности полагается именно задача отыскания наименьшего значения, и в этом случае критерий логично называть «стоимостной функцией». В некоторых случаях может быть предложен критерий, достигающий максимума при наилучшей ситуации, и такой критерий логично назвать «функцией выигрыша». Однако в этом случае нетрудно сформировать стоимостную функцию, положив ее равной величине, противоположной функции выигрыша, т. е. выигрышу со знаком «минус». Трактовать неполученный выигрыш как проигрыш или невостребованную к оплате стоимость как выигрыш — логично, такая трактовка позволяет легко обеспечить требование соответствия минимума стоимостной функции наилучшей настройкой регулятора.
• 3. Стоимостная функция должна иметь минимум и достижение этого минимума должно соответствовать целям управления (целям настройки регулятора).

Пример 9. На рис. 4.1 приведен пример моделирования задачи из Примера 7 с автоматическим анализом качества на основе интегрального критерия от ошибки управления e (t).

Рис. 4.1. Автоматический анализ качества переходных процессы с объектом третьего порядка с ПИД-регулвтором с использованием интегрального критерия качества.

Стоимостная функция вычисляется по соотношению:

Поскольку e (t) зависит от коэффициентов пропорционального, интегрального и дифференцирующего трактов регулятора Р, /, Д первое условие выполнено.

Целью регулирования является сведение абсолютного значения ошибки e (t) и интеграла от нее к минимуму. Чем меньше по абсолютному значению величина e (t), тем меньше значение функции (4.1), поэтому второе условие также выполнено. Множитель t (время) под интегралом играет важную роль. В начальный момент времени ошибка неизбежно равна значению, равному разности между предписанным сигналом и выходным, действие отрицательной обратной связи в этот момент только начинает сказываться на поведении системы. Поэтому начальное значение ошибки не характеризует качество системы. По мере развития переходного процесса качества системы проявляются все больше и больше. Чем раньше ошибка обратится в нуль, тем лучше. Чем дольше сохраняется ненулевая ошибка, тем система хуже. Поэтому естественным представляется введение под интеграл весового коэффициента, пропорционального времени, прошедшего с начала переходного процесса.

Могут быть предложены и другие стоимостные функции. Наличие минимума целевой функции проверяется ее использованием или может быть доказано рассмотрением как минимум трех ансамблей коэффициентов. Если минимума функции нс имеется, то процедура оптимизации вызывает неограниченное увеличение или уменьшение одного или нескольких параметров, что на практике неудобно, поскольку не позволяет решить задачу. Согласно теории такая ситуация может возникнуть для ряда известных случаев, например, при попытке оптимизировать пропорциональный регулятор для идеального объекта первого порядка. С позиции теории эта задача неразрешима, т. е. какое бы значение параметры К не было найдено на промежуточном этапе, всегда можно указать новое значение, которое даст еще меньшее значение стоимостной функции, поэтому автоматическая процедура оптимизации не завершится никогда либо завершится после использования всего разрешенного количества итераций.

На практике таких систем и таких объектов не встречается. Для любого практического объекта ни один из коэффициентов регулятора не может изменяться в бесконечном диапазоне значений, давая все лучший и лучший эффект при изменении этого коэффициента только в одном направлении. Расхождение теории с практикой указывает на недостаточность линейной модели ни для одного практического случая решения задачи оптимизации.

Можно привести другие примеры стоимостных функций для оптимизации П ИД-регуляторов.

Интеграл от модуля ошибки:

Интеграл от квадрата ошибки:

Обобщенный интеграл модуля ошибки с весом и степенями:

Естественно, что при использовании разных критериев для оптимизации получаются разные решения.