Турбулентное течение вдоль твердой стенки. 
Логарифмический профиль скорости

Рассмотрим турбулентный поток жидкости вдоль неограниченной твердой поверхности (рис. 17). Средняя скорость потока направлена вдоль этой поверхности.

Рис. 17.

Обозначим о силу трения, действующую на единицу площади стенки со стороны потока. Очевидно, эта сила определяется градиентом средней скорости d Idy аналогично тому, как вязкое напряжение в ламинарном потоке определяется градиентом скорости этого потока.

Можно поставить вопрос по-другому: каким должен быть профиль скорости, чтобы обеспечить заданное напряжение о па стенке? Для ответа на этот вопрос попытаемся из величин, характеризующих поток, сконструировать величину, имеющую размерность d < v > Idy. В нашем распоряжении сейчас следующие величины: плотность р, напряжение о и расстояние у от пластины (напомним, что в силу условия Re «1 вязкость жидкости не влияет на структуру турбулентной области). Из перечисленных величин можно составить только одну комбинацию (сг/р) /у требуемой размерности. Таким образом, мы приходим к уравнению.

Здесь к — эмпирическая постоянная Кармана. Из экспериментов к ~ 0.4.

Интегрируя последнее соотношение, получаем.

Для определения постоянной интегрирования сейчас нельзя воспользоваться обычным краевым условием v —> 0 при у —> 0. Дело в том, что уравнение (105) получено для области развитого турбулентного потока. Между тем вблизи стенки в силу условия прилипания течение сильно тормозится. Локальные значения числа Рейнольдса вблизи стенки могут быть маленькими, поэтому на маленьких расстояниях от нее турбулентное течение должно переходить в ламинарное, к которому соотношение (106) не имеет отношения.

Обозначим у₀ расстояние от стенки, на котором вязкость начинает играть существенную роль и турбулентность начинает исчезать. Составим локальное число Рейнольдса Re* = *у / v (в нашем распоряжении сейчас нет другой величины, кроме v" имеющей размерность скорости, и, кроме у — величины, имеющей размерность длины). Вязкость начинает заметно проявляться тогда, когда Re* ~ 1. Это позволяет нам получить оценку у₀ ~ v / v*.

На расстояниях от стенки у <$с у₀ справедливо сильное неравенство Re 1 и течение практически ламинарное. Поэтому в этой области выполняется обычное соотношение

Отсюда на малых расстояниях от стенки

Область, где выполняется это соотношение, называется вязким подслоем. Скорость вязкого подслоя при у ~ у₀ должна непрерывно переходить в скорость турбулентного потока. Приравнивая при у = у₀ соотношения (106) и (107), получаем const = к — In у₀.

Таким образом, в турбулентной области.

В ядре турбулентного потока, где у^>у₀, это соотношение упрощается:

Область течения, где справедливо соотношение (107), называется логарифмическим слоем.