Турбулентное течение в трубах

Рассмотрим турбулентное течение в цилиндрической трубе. Обозначим / длину трубы, а — ее радиус и предположим, что /" а. Будем считать, что движение поддерживается разностью давлений Sр между концами трубы. Поскольку труба очень длинная, турбулентный пограничный слой, расширяясь по мере удаления от входа в трубу, в конце концов сомкнется, и на некотором расстоянии от входа, сопоставимом с радиусом а, турбулентный поток будет заполнять всю трубу. Мы рассмотрим именно эту область. В силу сильного неравенства /" а область полностью турбулентного потока будет занимать подавляюще большую часть трубы.

На расстояниях от стенки грубы, много меньших а, поверхность трубы можно считать плоской и для средней скорости течения применять формулу (108) логарфмического турбулентного слоя. Логарифм — очень медленно меняющаяся функция. Эго позволяет надеяться на то, что формулу (108) можно «протянуть» вплоть до оси грубы. Эксперименты подтверждают такую возможность. Средняя по сечению трубы скорость турбулентного течения по порядку величины равна скорости U на оси трубы. Эти соображения позволяют при помощи формулы (108) получить оценку.

Здесь мы учли, что у₀ ~ v / v" Найдем теперь связь между U и средним градиентом давления SpH. Для этого заметим, что сила давления, действующая на все сечение потока, равна па²8р. Эта сила идет на преодоление трения жидкости о стенки трубы. Отнесенная к единице площади, эта сила есть напряжение ст = pv^. Поэтому полная сила трения равна a2nal = p]2nal. Приравнивая оба выражения для силы, действующей на трубу, получаем 8р/1 ~ 2pv;. Учитывая формулу (112), приходим к системе уравнений.

относительно U и v,. Исключая v" получаем.

Учитывая, что логарифм — очень медленно меняющаяся функция, в первом приближении можно считать, что U зависит от др / / по закону U ~ -JbpTl. Для сравнения напомним, что для ламинарного течения формула Пуазейля дает U ~Ър 11.