Защита информации в телекоммуникационных системах

Курсовая работа Защита информации в телекоммуникационных системах Выполнил:

Кдыргалиева А.К.

телекоммуникационный защита информация шифрование

Целью данной курсовой работы является ознакомление студента с математической основой построения систем защиты информации в телекоммуникационных системах — методами криптографии. Эта курсовая работа направлена на формирование у студента систематизированного представления о принципах, методах и средствах реализации защиты данных.

Задача данной курсовой работы — научить студентов практическим навыкам ассиметричного и симметричного шифрования-дешифрования информации.

Задание № 1

Задача 1. Несимметричное шифрование — дешифрование

Зашифровать информацию по методу RSA для последующей передачи.

Сгенерировать секретный ключ с предложенными двумя вариантами и с использованием расширенного алгоритма Эвклида.

Вариант задания определяется последними цифрами номера студенческого билета. По номеру i (предпоследняя цифра) студент выбирает сообщение для зашифровывания, по j — требуемые для реализации этого алгоритма числа р и q.

Таблица1.1 Исходные данные для числа j:

1.1 Методические указания к решению задания Одним из наиболее распространенных методов несимметричного шифрования — дешифрования является метод шифрования с открытым ключом, в котором используется алгоритм RSA.

Алгоритм основан на использовании операции возведения в степень модульной арифметики. Его можно представить в виде следующей последовательности шагов:

Шаг 1. Выбирается два больших простых числа р и q. Простыми называются числа, которые делятся на самих себя и на 1. На практике для обеспечения криптостойкости системы величина этих чисел должна быть длиной не менее двухсот десятичных разрядов.

Шаг 2. Вычисляется открытая компонента ключа n: n = р q.

Шаг 3. Находится функция Эйлера по формуле: f (р q.)=(р-1)(q-1)

Функция Эйлера показывает количество целых положительных чисел от1 до n, которые не имеют ни одного общего делителя, кроме 1.

Шаг 4. Выбирается число е, которое должно взаимно простым со значением функции Эйлера и меньшим, чем f (р q.)

Шаг 5. Определяется число d, удовлетворяющее соотношению е * d (mod f (р q.))=1.

Числа е и n принимаются в качестве открытого ключа.

В качестве секретного ключа используются числа d и n.

Шаг 6. Исходная информация независимо от её физической природы представляется в числовом двоичном виде. Последовательность бит разделяется на блоки длиной L бит, где L — наименьшее целое число, удовлетворяющее условию L log₂(n.+1); Каждый блок рассматривается как целое положительное число X (i), принадлежащее интервалу (0, n-1). Таким образом, исходная информация представляется последовательностью чисел X (i), (i = 1. I). Значение I определяется длиной шифруемой последовательности.

Шаг 7. Зашифрованная информация получается в виде последовательности чисел

Y (i)= (Y (i)) ^e (mod n).

Шаг 8. Для расшифрования информации используется следующая зависимость:

Х (i)= (Y (i)) ^e (mod n).

Рассмотрим числовой пример применения метод RSA для криптографического закрытия информации, в котором для простоты вычислений использованы минимально возможные числа. Пусть требуется зашифровать сообщение на русском языке Интеграл.

Решение:

Сообщение: Принтер Числа p и q — 7 и 11

1) Вычислим открытую компоненту ключа:

n=p*q=7*11=77

2) Определим функцию Эйлера: f (р q.)=(р-1)(q-1)=(7−1)(11−1)=60;

Пусть e =5;

3) Выберем число е по следующей формуле:

е * 5(mod 72)=1; d =29

Числа е и n принимаются в качестве открытого ключа, d и n используются в качестве секретного ключа.

Таблица1.2 Позиции букв в алфавите:

4) Представим шифруемое сообщение как последовательность чисел в диапазоне от 0 до 32: 16 17 9 14 19 6 17

5) Для представления чисел в двоичном виде требуется 6 двоичных разрядов, так как в русском алфавите используются 33 буквы, поэтому исходный текст имеет вид: 10 000 10 001 1 001 1 110 10 011 110 10 001

6) Длина блока L определяется как минимальное число из целых чисел, удовлетворяющих условию

L log₂(77+1); L=7

Тогда RSA = (10 000 100 010 100 101 611 471 801 340 133 376). Укладываясь в заданный интервал 0…526, получаем следующее представление:

RSA =(100 001 000),(101 001 011),(101 001 100),(11 010 001)=(М₁ =264,

М₂ =331, М₃ =332, М₄ = 209.

Далее последовательно шифруем М₁, М₂, М₃ и М₄

C₁ = E_k (M₁) = M₁^в = 264⁵ (mod 77) = 66.

C₂ = E_k (M₂) = M₂^в = 331⁵ (mod 77) = 67.

C₃ = E_k (M₃) = M₃^в = 332⁵ (mod 77) = 54.

C₄ = E_k (M₄) = M₄^в = 209⁵ (mod 77) = 55.

В итоге получаем шифротекст: С₁ = 66, С₂ = 67, С₃ =54, С₄ =55

8) Расшифруем полученные данные, используя закрытый ключ {29,77}:

При расшифровании нужно выполнить следующую последовательность действий. Во-первых, вычислить

D_k (C₁) = 66²⁹ (mod 77)=264

D_k (C₁) = 67²⁹ (mod 77)=331

D_k (C₁) = 54²⁹ (mod 77)=332

D_k (C₁) = 55²⁹ (mod 77)=209

Возвращаясь к буквенной записи, получаем после расшифрования ПРИНТЕР.

Задача 2. Хеширование и цифровая подпись документов Используя данные задания 1.1, получить хеш — код m для сообщения М при помощи хеш-функции Н, взятой из рекомендаций МККТТ Х.509. Вектор инициализации Н₀ выбрать равным нулю.

Вычислить цифровую подпись методом RSA под электронным документом М, используя рассчитанный хеш — код m и секретный ключ d.

Представить схему цифровой подписи с подробным описанием ее функционирования.

Хеш-функцию МККТТ Х.509 запишем следующим образом:

H_i=[(H_i-1 M_i)²] (mod n),

где i=l, n,

H₀ — вектор инициализации, М_i =М₁, М₂, М₃…, М_n — -длина блока.

Все блоки делят пополам и к каждой половине прибавляют равноценное количество единиц. С преобразованными таким образом блоками производят интеграционные действия.

Порядок вычисления хэш-кода:

а) Получить значение модуля: n=p*q=7*11=77

б) Представить сообщение в виде номеров букв русского алфавита в десятичном и двоичном видах:

в) Разбить байт пополам, добавив в начало полубайта единицы и получить хешируемые блоки М_i:

г) Выполнить интеративные шаги:

Первая интерация

Вторая интерация

Третья интерация

Четвертая интерация

Пятая интерация

Шестая интерация

Седьмая интерация

Восьмая интерация

Девятая интерация

Десятая интерация

Одиннадцатая интерация

Двенадцатая интерация

Тринадцатая интерация

Четырнадцатая интерация

Таким образом, исходное сообщение ПРИНТЕР имеет хеш — код m=34.

Для вычисления цифровой подписи используем следующую формулу:

S=m^d (mod n) = 34²⁹ mod 77 = 34

Пара (M, S) передается получателю как электронный документ М, подписанный цифровой подписью S, причем подпись S сформирована обладателем секретного ключа d.

Получив пару (M, S), получатель вычисляет хеш — код сообщения М двумя способами:

1) Восстанавливает хеш — код m', применяя криптографическое преобразование подписи S с использованием открытого ключа e:

m'=S^e (mod n) =34⁵ mod 77 = 34

2) Находит результат хеширования принятого сообщения с помощью той же хеш-функции: m=H (M) =34.

При равенстве вычисленных значений m' и m получатель признает пару (M, S) подлинной.

Задание № 2

Задача 1. Система с открытым ключом Диффи-Хелмана

генерировать секретные ключи для пяти абонентов по методу Диффи-Хеллмана (DH). Для этого взять значение секретного ключа x из таблицы 1. Соответствующие значения открытого ключа вычислить и результаты внести в таблицу. Вариант задания определяется по номеру i (предпоследняя цифра) и j (последняя цифра зачетной книжки) — требуемая для реализации этого алгоритма число x. Число j — начальный номер для второго абонента при выборе числа x. Для выбора x для связи с пятью абонентами необходимо по циклической процедуре выбрать x по последней цифре зачетки.

Номер зачетной книжки:

№****00

Значения согласно варианту:

Xa=7

Xb=7

Xc=11

Xd=13

Xe=17

Так как g=2, пусть q=15 401, тогда p=30 803.

Проверим выполнение условий данных:

1^qmodp?1

1<2<30 802 и 2^15 401 mod 30 803=30802

Необходимые условия выполняются, значит, такое р подходит.

Решение Вычислим открытые числа Y для пяти абонентов по следующей формуле:

Ya = g^Xa mod р = 2⁷mod 30 803 = 128

Yb = g^Xb mod р = 2⁷mod 30 803 = 128

Yc = g^Xc mod р = 2¹¹mod 30 803 = 2048

Yd = g^Xd mod р= 2¹³mod 30 803 = 8192

Ye = g^Xe mod р = 2¹⁷mod 30 803 = 7860

Таблица 1.3 Ключи пользователей в системе Диффи-Хеллмана

Приведем пример работы алгоритма Диффи-Хеллмана. Покажем как абонент A и B смогут вычислить секретные ключи, благодаря открытым числам Ya и Yb. Вычислим следующие величины:

Z_AC = (Y_C)^XAmodp = (2048)⁷ mod 30 803 = 17 068

Z_CA = (Y_A)^XCmodp = (128)¹¹ mod 30 803 = 17 068

Z = Zab=Zва

Таким образом, любая пара абонентов может вычислить свой секретный ключ, который в нашем примере является Z.

Задача 2. Шифрование по алгоритму Шамира

Зашифровать сообщение по алгоритму Шамира для трех абонентов, взяв значение сообщения m и значение p из таблицы 2. По номеру i (предпоследняя цифра) студент выбирает сообщение для зашифровывания, по j — требуемые для реализации этого алгоритма число р. Выбор данных для других абонентов произвести циклически согласно процедуре (i + 1) и (g + 1).

Последние цифры номера зачетной книжки — (00). Выбираем для трех абонентов (сообщение, p) — (12,29), (14,31), (16,37).

Таблица 2. Исходные данные для выбора сообщений (m)

Перейдем к описанию системы. Пусть есть два абонента, А и В, соединенные линией связи. А хочет передать сообщение m абоненту Б так, чтобы никто не узнал его содержание. А выбирает случайное большое простое число р и открыто передает его В. Затем, А выбирает два числа с_{А и} d_A, такие, что с_Аd_A mod (р — 1) = 1. (2.1)

Эти числа, А держит в секрете и передавать не будет. В тоже выбирает два числа с_в d_в, такие, что

с_вв mod (p — 1) = 1, (2.2)

и держит их в секрете.

После этого, А передает свое сообщение m, используя трехступенчатый протокол. Если m < р (m рассматривается как число), то сообщение т передается сразу, если же т р, то сообщение представляется в виде m₁, m₂,…, m_t, где все m_i < р, и затем передаются последовательно m₁, m₂,…, m_t. При этом для кодирования каждого m_i лучше выбирать случайно новые пары (c_A, d_A) и (c_B, d_B) — в противном случае надежность системы понижается. В настоящее время такой шифр, как правило, используется для передачи чисел, например, секретных ключей, значения которых меньше р. Таким образом, мы будем рассматривать только случай m < р.

Описание протокола.

Шаг 1. А вычисляет число:

Х₁ =m^СА modp (2.3),

где m — исходное сообщение, и пересылает х₁ к В.

Шаг 2. В, получив х₁, вычисляет число:

X₂ = х₁^CB mod p (2.4),

и передает х₂ к А.

Шаг 3. А вычисляет число:

X₃ = х₂^dA mod p (2.5),

и передает его В.

Шаг 4. В, получив х₃, вычисляет число

X₄ = x₃^dB mod p (2.6).

Утверждение (свойства протокола Шамира).

1) х₄ = m, т. е. в результате реализации протокола от, А к В действительно передается исходное сообщение;

2) злоумышленник не может, узнать, какое сообщение было передано.

Доказательство. Вначале заметим, что любое целое число е 0 может быть представлено в виде

е = k (р-1)+r, где r = е mod (p-1)

Поэтому на основании теоремы Ферма:

(2.7).

Справедливость первого пункта утверждения вытекает из следующей цепочки равенств:

(предпоследнее равенство следует из (2.7), а последнее выполняется в силу (2.1) и (2.2)).

Доказательство второго пункта утверждения основано на предположении, что для злоумышленника, пытающегося определить m, не существует стратегии более эффективной, чем следующая. Вначале он вычисляет C_B из (2.4), затем находит d_B и, наконец, вычисляет Х₄ = m по (2.6). Но для осуществления этой стратегии злоумышленник должен решить задачу дискретного логарифмирования (2.4), что практически невозможно при больших р.

Опишем метод нахождения пар c_A, d_A и с_B, d_B, удовлетворяющих (2.1) и (2.2). Достаточно описать только действия для абонента А. так как действия для В совершенно аналогичны. Число с_A выбираем случайно так, чтобы оно было взаимно простым с р-1 (поиск целесообразно вести среди нечетных чисел, так как р — 1 четно), Затем вычисляем d_A с помощью обобщенного алгоритма Евклида.

Теорема Пусть a и b — два целых положительных числа. Тогда существуют целые (не обязательно положительные) числа x и y, такие, что

ax + by = gcd (a, b). (1)

Обобщенный алгоритм Евклида служит для отыскания gcd (a, b) и x, y, удовлетворяющих (1). Введем три строки U=(u₁, u₂, u₃), V=(v₁, v₂, v₃) и Т=(t₁, t₂, t₃). Тогда алгоритм записывается следующим образом.

Решение Пусть, А хочет передать В сообщение m = 14. А выбирает р = 31,

с_Аd_A mod (р — 1) = 1.

с_А = 11, d_A = 41.

Аналогично, В выбирает параметры с_вd_в mod (p — 1) = 1

c_B = 31 и d_B = 21.

Переходим к протоколу Шамира.

Шаг 1. x₁ = 14¹¹mod 51 =44.

Шаг 2. х₂ = 44³¹ mod 51 = 29.

ШагЗ. x₃= 29⁴¹ mod 51 = 5.

Шаг 4. х₄ = 5²¹ mod 51 = 14.

Таким образом, В получил передаваемое сообщение m = 14.

Пусть B хочет передать C сообщение m = 16. B выбирает р = 53,

С_Bd_B mod (р — 1) = 1.

С_B = 5, d_B = 21.

Аналогично. C выбирает параметры С_cd_c mod (p — 1) = 1

C_c = 11 и d_c = 19.

Переходим к протоколу Шамира.

Шаг 1. x₁ = 16⁵mod 53 =24.

Шаг 2. х₂ = 24¹¹ mod 53 = 15.

ШагЗ. x₃= 15²¹ mod 53 =47.

Шаг 4. х₄ = 47¹⁹ mod 53 =16.

Таким образом, C получил передаваемое сообщение m = 16.

1. Пусть R хочет передать A сообщение m = 18. C выбирает р = 57,

С_Rd_R mod (р — 1) = 1.

С_R = 5, d_R = 45.

Аналогично. В выбирает параметры С_Ad_A mod (p — 1) = 1

C_A = 101 и d_A = 173. Переходим к протоколу Шамира.

Шаг 1. x₁ = 18⁵mod 57 =18.

Шаг 2. х₂ = 18¹⁰¹ mod 57 = 18.

ШагЗ. x₃= 18⁴⁵ mod 57 = 18.

Шаг 4. х₄ = 18¹⁷³ mod 57 =18.

Таким образом, A получил передаваемое сообщение m = 18.

Задача 3

Шифрование по алгоритму Эль-Гамаля

По таблице 3, выбрать сообщение m и секретный ключ x и провести шифрование по методу Эль-Гамаля для пяти абонентов. Вариант задания определяется последними цифрами номера студенческого билета. По номеру i (предпоследняя цифра) студент выбирает сообщение для зашифровывания, по j (последняя цифра) — требуемые для реализации этого алгоритма секретный ключ x. Исходные данные для других четырех секретных ключей x выбираются циклически по процедуре (i+1) и (j+1).

Таблица 3. Исходные данные для выбора сообщений и числа х.

Пусть имеются абоненты А, В, С, D, E которые хотят передавать друг другу зашифрованные сообщения, не имея никаких защищенных каналов связи. Шифр Эль — Гамаля решает эту задачу, используя, в отличие от шифра Шамира, только одну пересылку сообщения. Фактически здесь используется схема Диффи — Хеллмана, чтобы сформировать общий секретный ключ для двух абонентов, передающих друг другу сообщение, и затем сообщение шифруется путем умножения его на этот ключ. Для каждого следующего сообщения секретный ключ вычисляется заново.

Для всей группы абонентов выбираются некоторое большое простое число р и число g, такие, что различные степени g суть различные числа по модулю р. Числа р и g передаются абонентам в открытом виде (они могут использоваться всеми абонентами сети).

Нам необходимо выбрать числа p и g так, чтобы они отвечали следующим требованиям:

g^q mod p 1,

где p=2q+1.

Возьмем p=61 и g=11.

2q+1=61

q=30

Проверим соотношение:

11³⁰ mod 61= 60 1 — выполняется.

Затем каждый абонент группы выбирает свое секретное число c_i:

1 < C_i < р — 1

(см. таблицу 5.1), и вычисляет соответствующее ему открытое число d_i:

d_i=g^Сi mod p (3.1)

Таблица 5.1 — Ключи пользователей в системе Эль-Гамаля

Покажем теперь, как A передает сообщение m абоненту В. Будем предполагать, как и при описании шифра Шамира, что сообщение представлено в виде числа m < р.

Шаг 1. A формирует случайное число к, 1 к р-2, вычисляет числа

r=g^k mod p, (3.2)

e=md_B^k mod p, (3.3)

и передает пару чисел (r, е) абоненту В.

Шаг 2. В, получив (r, е), вычисляет

m'=еr^p-1-c_b mod р (3.4)

Утверждение (свойства шифра Эль-Гамаля):

1) Абонент B получил сообщение, т. е. m'=m;

2) противник, зная р, g, d_B, r и е, не может вычислить m.

Передадим сообщение m = 7 от A к B. Возьмем р = 61, g = 11. Пусть абонент B выбрал для себя секретное число с_B = 47 и вычислил по (3.1) d_B= 50.

Абонент A выбирает случайно число k, например k = 23, и вычисляет по (3.2), (3.3):

r = 11²³ mod 61 = 50,

е = 750²³ mod 61 = 16.

Теперь A посылает к B зашифрованное сообщение в виде пары чисел. B вычисляет по (3.4):

m' = 1650^61−1-47 mod 61 = 7.

Мы видим, что B смог расшифровать переданное сообщение.

Ясно, что по аналогичной схеме могут передавать сообщения все абоненты в сети. Заметим, что любой абонент, знающий открытый ключ абонента B, может посылать ему сообщения, зашифрованные с помощью открытого ключа d_B. Но только абонент B, и никто другой, может расшифровать эти сообщения, используя известный только ему секретный ключ с_B. Отметим также, что объем шифра в два раза превышает объем сообщения, но требуется только одна передача данных (при условии, что таблица с открытыми ключами заранее известна всем абонентам).

Передадим сообщение m=9 от B к C. (р = 61, g = 11. Пусть абонент C выбрал для себя секретное число С_C = 51 и вычислил по (3.1) d_C = 50.

Абонент B выбирает случайно число k, например k = 6, и вычисляет по (3.2), (3.3):

r = 11⁶ mod 61 = 60

е = 950⁶ mod 61 = 52.

Теперь B посылает к C зашифрованное сообщение в виде пары чисел. C вычисляет по (3.4):

m' = 5260^61−1-51 mod 61 = 9

Мы видим, что C смог расшифровать переданное сообщение.

Передадим сообщение

m= 11 от C к D. (р = 61, g = 11).

Пусть абонент D выбрал для себя секретное число с_D = 29 и вычислил по (3.1) d_D=11.

Абонент D выбирает случайно число k, например k = 5, и вычисляет по (3.2), (3.3):

r = 11⁵ mod 61=11,

е = 1111⁵ mod 61 = 60.

Теперь C посылает к D зашифрованное сообщение в виде пары чисел. D вычисляет по (3.4):

m' = 6011^61−1-29 mod 61 = 11.

Мы видим, что D смог расшифровать переданное сообщение.

Передадим сообщение m= 13 от D к E. (р = 61, g = 11). Пусть абонент E выбрал для себя секретное число с_E = 11 и вычислил по (3.1) d_E=50.

Абонент D выбирает случайно число k, например k = 3, и вычисляет по (3.2), (3.3):

r = 11³ mod 61=50,

е = 1350³ mod 61 = 21.

Теперь D посылает к E зашифрованное сообщение в виде пары чисел. E вычисляет по (3.4):

m' = 2150^61−1-11 mod 61 = 13.

Мы видим, что E смог расшифровать переданное сообщение. Передадим сообщение m= 3 от E к A. (р = 61, g = 11). Пусть абонент A выбрал для себя секретное число с_A = 43 и вычислил по (3.1) d_A=50.

Абонент L выбирает случайно число k, например k = 4, и вычисляет по (3.2), (3.3):

r = 11⁴ mod 61=1,

е = 350⁴ mod 61 = 3.

Теперь E посылает к A зашифрованное сообщение в виде пары чисел. A вычисляет по (3.4):

m' = 31^61−1-43 mod 61 = 3.

Мы видим, что A смог расшифровать переданное сообщение.

Заключение

В данной курсовой работе рассматриваются криптосистемы с открытым ключом. В таких системах для шифрования данных используется один ключ, который нет необходимости скрывать, а для дешифрования другой — закрытый, математически связанный с открытым ключом, однако на его определение и расшифровку шифра уйдет относительно большой период времени.

Метод RSA является очень удобным, поскольку не требует для шифрования передачи ключа другим пользователям, в отличие, скажем, от симметричных алгоритмов. Высокая криптостойкость, объясняемая сложностью определить секретный ключ по открытому, а также довольно простая программная реализация ставят данный метод на достаточно высокий уровень.

Использование системы Диффи-Хеллмана облегчает снабжение большого количества абонентов секретными ключами.

Шифр Шамира позволяет организовать обмен секретными сообщениями по открытой линии связи без наличия секретных ключей. Однако использование четырех пересылок от одного абонента к другому значительно усложняет процедуру шифрованной передачи. Данную проблему решил Эль-Гамаль, предложивший передачу сообщений без наличия секретных слов, используя лишь одну пересылку сообщения.

1. Рябко Б. Я., Фионов А. Н. Криптографические методы защиты информации. — М: Горячая линияТелеком, 2005.

2.Петраков А. В. Основы практической защиты информации. 2-е издание Учебн. Пособие. — М: Радио и связь 200

3. Романец Ю. В. Защита информации в компьютерных системах и сетях./Под ред. В. Ф. Шаньгина. — М: Радио и связь 1999