Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Перейдем теперь к уравнениям Максвелла в дифференциальной форме, которые могут быть получены из уравнений Максвелла в интегральной форме с помощью двух известных математических теорем. Теорема Остроградского — Гаусса.

позволяет преобразовать интеграл по замкнутой поверхности S в интеграл по объему V, ограниченному этой поверхностью.

А теорема Стокса.

дает возможность преобразовать интеграл по замкнутому контуру / в интеграл по поверхности S, натянутой на этот контур. Заметим, что сформулированные теоремы можно применять не только для вектораЕ, но и для любого другого вектора.

Напомним здесь математические определения дивергенции

и ротора

позволяющих в теории поля компактно записывать и преобразовывать формулы.

Здесь определение ротора дано в символическом виде с помощью определителя третьего порядка и единичных векторов по координатам. Заметим, что дивергенция является скаляром, а ротор — вектором. Кроме того, отметим, что в определениях дивергенции и ротора используются частные производные, однако в более простых формулах будут использоваться и обычные производные.

Математическую теорему Остроградского — Гаусса мы уже применяли для вывода физических теорем Гаусса для электрического и магнитного полей, так что воспользуемся этими результатами.

Из теоремы Гаусса в дифференциальной форме (16.25) для электрического поля с учетом того, что среда с диэлектрической проницаемостью е ослабляет поле в е раз, следует, что div?=. Отсюда имеем первое уравне-

е₀е.

нив Максвелла:

Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса в дифференциальной форме (22.32) для магнитного поля: divZJ = 0.

Поскольку интегралы равны для произвольной поверхности, то равны и подынтегральные выражения:

Это и есть третье уравнение Максвелла.

Наконец, применим теорему Стокса к четвертому уравнению системы (25.7), объединив два интеграла в один:

По-прежнему, поскольку интегралы равны для произвольной поверхности, то равны и подынтегральные выражения. Таким образом, получим четвертое уравнение Максвелла:

Таким образом, окончательно система уравнений Максвелла в дифференциальной форме имеет вид.

Для решения конкретных задач к этим уравнениям по-прежнему надо добавлять уравнения связи (25.8), (25.9). Но теперь этого недостаточно. При переходе от интегрального вида к дифференциальному в уравнениях Максвелла потерялись граничные условия — примерно так же, как при дифференцировании уравнения теряются константы. На границе раздела сред производные, входящие в уравнения Максвелла, вообще говоря, не определены. Поэтому необходимо дополнительно пользоваться граничными условиями для электромагнитного поля (19.12), (19.14), (23.19), (23.21), вытекающими из уравнений Максвелла в интегральной форме:

Напомним, что эти граничные условия получены для случая, если на границе раздела отсутствуют свободные заряды и токи проводимости.

" ' ' dB dD _.

Если электрическое и магнитное поля стационарны (— = — = 0), то,.

dt. dt.

как следует из системы (25.19), эти поля существуют независимо друг от друга. В этом случае электрическое поле описывается двумя основными уравнениями электростатики:

Соответственно магнитное поле описывается двумя основными уравнениями магнитостатики: