Волны де Бройля и квантовые условия Бора. 
Частицы, проявляющие волновые свойства

Де Бройль объяснил квантование момента импульса электрона в теории Бора с помощью представления о волновых свойствах электрона. Для иллюстрации этого достаточно воспользоваться формулой, связывающей длину волны с импульсом тела. Чтобы волна, движущаяся вокруг ядра атома, была стационарной, длина орбиты должна быть кратной целому числу длин волн:

откуда в точности получается постулат квантования момента импульса m_evr_n = nh.

Найдем связь длины волны де Бройля с кинетической энергией для нерелятивистских и релятивистских частиц. В случае нерелятивистской час;

F ^Р2

тицы кинетическая энергия равна Ь = — и.

В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима со скоростью света в вакууме, связь между импульсом и кинетической энергией частицы определяется релятивистским инвариантом Е² = р²с² + т²с⁴, в котором полная релятивистская энергия Е равна сумме кинетической энергии Т и энергии покоя частицы тс²:

Отсюда можно выразить импульс через кинетическую энергию:

и связь длины волны де Бройля с кинетической энергией Тдля релятивистских частиц:

Найдем теперь длину волны де Бройля нерелятивистского электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, В (и имеющего энергию U, эВ):

Таким образом, при энергии 10—1000 эВ длина волны де Бройля электрона сравнима с размерами атомов и молекул, а также с расстоянием между атомами в конденсированном теле.

При энергиях в 100 и более кэВ (а такую энергию имеют электроны нижних орбит тяжелых атомов) электрон становится релятивистским и длина его волны уменьшается до 10 ¹² м.

Рассмотрим еще один пример — жидкий гелий при температуре кипения при нормальном давлении Т_г = 4,2 К. Поскольку кинетическая энергия атомов гелия определяется температурой Е ~ kT_r ~ 4 • 10⁴ эВ, то длина волны де Бройля атомов гелия равна.

Это примерно равно расстоянию между атомами жидкого гелия, что означает: жидкий гелий — квантовая система, в которой атомы гелия реально проявляют волновые свойства.

Сформулируем теперь критерий, когда волновые свойства важны в поведении частицы, а в каких случаях их можно не учитывать. По аналогии с оптикой волновые свойства частиц проявляются, когда длина волны де Бройля Х_Б сравнима с характерными размерами области движения частицы L: Х_Б ~ L.

Если же длина волны де Бройля много меньше области движения частицы (А._б L), то волновыми свойствами можно пренебречь.

Часто для описания сложных процессов квантовый подход оказывается слишком громоздким, а классический подход — слишком неточным. В такой ситуации может оказаться удобной комбинация классического и квантового подходов, называемая квазиклассикой. Квазиклассический подход проявил свою эффективность, например, при расчетах сечений ионизации и возбуждения атомов и молекул.