Краевые условия. 
Техническая термодинамика и теплопередача

Перейдем к формулировке начального и граничного условий, которым должна удовлетворять функция Т (х, у, z, t) = Т{М, t), описывающая распределение температуры в некотором теле.

Начальное условие для уравнения теплопроводности состоит в задании температуры во всех точках области в момент t = 0, от которого ведется отсчет времени:

где функция Ф₀(М) непрерывна во всех точках области. В случае равномерного распределения температуры в теле начальное условие упрощается:

Условие (2.1) означает, что следует найти такое решение Т (М,^{тепловой} задачи, которое по мере приближения времени к начальному значению стремилось бы во всех точках области к заданной величине Ф₀(Л" /):

Понимание начального условия (2.1) в предельном смысле (2.3) объясняется исключительно теми классами конкретных функций, которыми описываются решения краевых задач уравнения теплопроводности. Эти функции во многих случаях не имеют смысла при t = О, однако допускают предельный переход при t —*? Например, функция.

является решением уравнения теплопроводности дТ/dt = а (д²Тдх²) с начальным условием Т (х, 0) = Ф₀(ж), х > 0. Соотношение (2.4) не определено при t = 0, однако если Фо (.г) — непрерывная функция, то можно показать, что.

Граничные условия (условия теплового взаимодействия тела с окружающей средой) могут быть заданы в различной форме в зависимости от характера процесса. В тех случаях, когда на границе тела не происходит никаких процессов с поглощением или выделением теплоты и отсутствует теплообмен излучением, задание граничного условия на поверхности соприкосновения двух сред в самом общем виде заключается в выполнении равенства температур и тепловых потоков:

где Т_т, Т_с — температуры тела и среды; Х_г, Х_с — теплопроводности тела и среды; п — нормаль к граничной поверхности.

Однако в практических задачах такая форма граничных условий неудобна, так как для расчета температуры твердого тела необходимо решать сопряженную задачу, т. е. отыскивать температурное поле и в окружающей среде. Поэтому в ряде практически важных задач желательно перейти к более простым граничным условиям. В математической теории теплопроводности в большинстве случаев используются четыре основных граничных условия, представляющие собой идеализацию действительных физических процессов.

Граничное условие первого рода состоит в задании поверхностного распределения температуры для любого момента времени:

где М — точка, находящаяся на поверхности тела; Ф (М, ?) — заданная непрерывная функция (по пространственным переменным и времени t) во всех точках поверхности тела.

В частном случае может оказаться, что температура на поверхности одинакова в течение всего процесса теплообмена, т. е. Т (М, t) = Т_ст = const. В общем случае граничное условие первого рода является идеализацией, и на практике к его выполнению можно приблизиться лишь при особых условиях теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой, например, в таких интенсивных процессах, как кипение, конденсация, вынужденное движение жидких металлов и др" когда температура поверхности тела близка к температуре окружающей среды.

Граничное условие второго рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела как функции координат и времени:

где Ф (М, L) — непрерывная функция точки М и времени t, заданная на поверхности тела; п — нормаль к поверхности тела в точке М.

Следует различать процессы охлаждения и нагревания. Для процесса охлаждения (дТ/дп < 0) тепловой поток считается положительным. Для процесса нагревания (дТ/дп > 0) тепловой поток отрицательный и соотношение (2.6) принимает вид

В простейшем случае плотность теплового потока через поверхность может быть постоянной по поверхности и во времени:

Выражение (2.6), когда Ф (М, f) = 0, представляет условие тепловой изоляции граничной поверхности тела. Теплоизолированной называется такая поверхность, через которую не проходит поток теплоты. В этом случае (2.6) имеет вид

В случае граничных условий третьего рода задаются температура окружающей среды Т_ср и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена используется закон Ньютона—Рихмана. Согласно этому закону, количество теплоты, отдаваемой единицей площади поверхности тела с температурой Т_СТ в единицу времени в окружающую среду с температурой Т_ср в процессе охлаждения (Г_ст > Г_ср), пропорционально разности температур поверхности тела Т_ст и окружающей среды:

где, а — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи.

Для процесса нагрева тела можно написать аналогичное соотношение, поменяв в (2.9) местами Г_ст и Т_ср.

Коэффициент теплоотдачи, а характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемой (или воспринимаемой) единицей площади поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус. В отличие от коэффициента теплопроводности X, коэффициент теплоотдачи, а не является физической константой, характерной для того или иного вещества. В общем случае он отражает совместное действие конвекции и излучения и поэтому зависит от многих факторов: геометрической формы и размеров тела, физических свойств среды, теплоемкости, плотности, вязкости среды, температуры поверхности нагрева Т_ст и др. В общем случае, а может изменяться заданным образом по координатам и времени. Для упрощения задачи в расчетных схемах в качестве первого приближения принимают а постоянным.

Согласно закону сохранения энергии, теплота, которая отводится с единицы площади поверхности тела в единицу времени вследствие теплоотдачи (см. уравнение (2.9)), равна теплоте, подводимой к единице площади поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела, и равна, согласно закону Фурье, q = }.(дТ/дп). Приравнивая эти выражения, получим граничное условие третьего рода при охлаждении тела.

где Ф (М, t) — заданная непрерывная функция точки М и времени I на поверхности тела.

В конкретных задачах при записи граничных условий третьего (или второго) рода приходится вычислять производную, но нормали дТ/дп, что в некоторых случаях вызывает определенные трудности (особенно в цилиндрической и сферической системах координат). Поясним эти вычисления на примерах. Рассмотрим охлаждение стержня (рис. 2.2) и вычислим производную, но направлению нормали к его торцам в граничном условии (2.10).

Так как температура Тстержня зависит только от одной пространственной переменной х (температурное поле одномерное), то формула производной функции Тпо нормали в данном случае имеет вид дТ/дп = (dT/dx)cos а, где, а — угол, образуемый нормалью п с положительным направлением оси х. На левом конце стержня направление вектора нормали и противоположно положительному направлению оси х и.

На правом конце стержня эти направления совпадают и.

Рис. 2.2. Охлаждение стержня.

Таким образом, граничные условия третьего рода для стержня при его охлаждении и нагревании соответственно имеют вид.

Уравнение (2.10), выражающее в аналитической форме граничное условие третьего рода, называется дифференциальным уравнением теплообмена и по существу является частным выражением закона сохранения энергии для поверхности тела. Это уравнение справедливо в условиях стационарного и нестационарного режимов, так как вытекает из соображений, что тонкий поверхностный слой, для которого составляется баланс подвода и отвода теплоты, не может аккумулировать или выделять теплоту.

Из граничного условия третьего рода как частный случай можно получить граничное условие первого рода. Запишем это условие в виде.

Если коэффициент теплообмена, а имеет очень большое значение (а —* °°) или коэффициент теплопроводности, А мал (А —? 0), то.

Отсюда T (M, t) = Г_ср, т.с. температура поверхности тела равна температуре окружающей среды. Если коэффициент теплообмена а очень мал (а —*• 0), то из (3.10) получим условие тепловой изоляции граничной поверхности — равенство нулю потока теплоты через поверхность тела дТ (М, t)/dn = 0.

Граничные условия четвертого рода (условия сопряжения) применяются в случае контакта двух твердых тел. Если между граничными поверхностями тел имеется идеальный тепловой контакт, то их температуры на поверхности контакта должны быть одинаковыми. Кроме того, тепловой поток, выходящий из одного тела через контактную поверхность, должен быть равен тепловому потоку, входящему в другое тело. Таким образом, если Т и Г₂ — температуры тел, находящихся в условиях идеального теплового контакта, то для точки М контактной поверхности граничные условия четвертого рода имеют вид.

где и — общая нормаль к контактной поверхности в точке М.