Применение нелинейного уравнения Фоккера — Планка

Нелинейное дифференциальное уравнение Фоккера — Планка задает эволюцию функции плотности вероятности во времени. Главным образом в прогнозировании фондового рынка она применяется для построения траекторий решения уравнения Ланжевена, которое, в свою очередь, является стохастическим дифференциальным уравнением первого порядка. Уравнение Ланжевена используется в финансовом анализе для исследования динамики ценового процесса. Исходя из динамики, мы можем сделать значительные выводы относительно того, насколько волатильным является исследуемый актив. Волатильность — финансовый показатель, характеризующий некоторую степень изменчивости цены исследуемого объекта. Она является важной характеристикой, и представляет собою особый интерес для исследования, ведь понятие волатильности тесно связано с понятием риска. Ни одна торговая стратегия не имеет реальной ценности, если она сопряжена с высокой степенью риска. В связи с данным фактом, любой аналитик, создающий торговый алгоритм, анализирует насколько волатильным является торгуемый им инструмент. Это является ключевым моментом, ведь значительное изменение цены инструмента напрямую влияет на риски, не соблюдение которых, может привести к потере денежных средств.

В моем исследовании мы не обошли стороной данный момент. Мы исследовали, как будет изменяться цена актива при соответствующих параметризующих функциях в случае нелинейного уравнения Фоккера — Планка:

;

где x — значение цены рассматриваемого актива,.

м (x) — математическое ожидание изменения цены актива х,.

у (x) — дисперсия изменения цены актива,.

— Гауссовский нормальный генератор случайных чисел.

— Значение функции плотности для решения нелинейного уравнения Фоккера — Планка В случае, когда мы имеем дело с решением линейного уравнения Фоккера — Планка, траектории решения уравнения Ланжевена будут определяться из уравнения:

Тогда для полученных в ходе исследования параметризующих функций, среднее множество траекторий уравнения Ланжевена в линейном и нелинейном случаях решения уравнения Фоккера — Планка будут выглядеть следующим образом:

Рис 3. Траектории уравнения Ланжевена (синим — для нелинейного уравнения Фоккера — Планка, красным — для линейного вида)

Траектории, представленные на графике — симуляция движения цены актива во времени, при заданных параметрах: математическом ожидании отклонения цены, дисперсии данного отклонения, а также функции плотности вероятности, соответствующей решению нелинейного дифференциального уравнения Фоккера — Планка. Значимым моментом является то, что мы взяли не одну из симуляций, а некую среднюю из множества возможных. Это дает нам основания утверждать, что в условиях данной задачи, построен некоторый прогноз движения цены актива. Анализируя данную диаграмму, важно отметить факт, что мы получаем существенно различные результаты при использовании линейного уравнения Фоккера — Планка или его нелинейной вариации. Кроме того, исходя из данной диаграммы мы можем сделать выводы о том, насколько изменчива будет цена актива с течением времени.