Точные аналитические решения стационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций

После изучения главы 3 бакалавр должен:

знать

• • теорию обобщенных функций;
• • особенности математических постановок задач теплопроводности для многослойных конструкций;

уметь

• • выполнять математические постановки задач теплопроводности для многослойных конструкций;
• • различать линейные и нелинейные задачи теплопроводности;

владеть

• навыками получения точных аналитических решений задач теплопроводности для многослойных конструкций на основе использования математического аппарата обобщенных функций.

Стационарная теплопроводность в многослойной пластине

Получение решений задач теплопроводности для многослойных конструкций в классической постановке выполняется методом сопряжения решений для отдельных слоев в точке их контакта и сводится в итоге к решению в общем виде систем алгебраических линейных уравнений относительно 2п неизвестных коэффициентов. Однако с увеличением числа слоев создаются определенные трудности при получении аналитических решений и проведении практических расчетов ввиду того, что эти решения становятся громоздкими и малопригодными для параметрического анализа. Применительно к решению нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций относительно собственных чисел краевой задачи Штурма —Лиувилля получаются системы многопараметрических трансцендентных уравнений, точные аналитические решения которых пока еще не получены. Применение для решения таких задач приближенных аналитических методов (вариационных, взвешенных невязок и др.), совместное применение перечисленных методов с классическими точными аналитическими методами (Фурье, интегральных преобразований и др.) позволяет избежать решения систем миогопараметрических трансцендентных уравнений. Это связано с тем, что при получении решений таких задач указанными методами используются системы координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. Однако такие методы получения решений эффективны лишь в диапазоне регулярного режима нестационарного процесса. При малых значениях временной координаты (в нерегулярном режиме) для обеспечения заданной точности необходимо использовать большое число приближений. В этом случае относительно неизвестных коэффициентов решения получаются большие системы алгебраических линейных уравнений. Матрицы коэффициентов таких систем, являясь заполненными квадратными матрицами с большим разбросом коэффициентов, но абсолютной величине, как правило, плохо обусловлены.

Одним из эффективных методов составления исходных дифференциальных уравнений и решения соответствующих задач теплопроводности является метод, основанный на применении обобщенных функций [18, 32, 33,36,38,48, 65,76]. Согласно этому методу, многослойная система рассматривается как один слой с переменными (разрывными) физическими свойствами среды, описываемыми с помощью единичных характеристических (асимметричных) функций. Отличительной особенностью такого метода решения является отсутствие необходимости специального выполнения условий сопряжения, что связано с особыми свойствами асимметричной функции, благодаря которым удовлетворить условиям идеального термического контакта между слоями многослойной системы удается непосредственно в уравнении.

Рассмотрим применение обобщенных функций с целью получения аналитических решений задач теплопроводности для многослойной пластины с несимметричными граничными условиями первого рода в следующей математической постановке (рис. 3.1):

где Tj — температура /-го слоя; х — координата; Т_с, Т_с2 — температуры стенок при х = Xq и х = х"; Xj — коэффициент теплопроводности /-го слоя; х_п = = х₀ + 5i + 6₂ + … + 8″; п — число слоев.

Представим кусочно-постоянные значения коэффициентов теплопроводности материалов слоев через асимметричную единичную функцию в виде

где Н (х — Xj) — асимметричная единичная функция, равная.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 3.1. Расчетная схема многослойной конструкции Например, для двухслойной пластины соотношение (3.6) будет иметь вид

Задача (3.1)—(3.5) с учетом (3.6) примет вид.

Ввиду того что Х (х) — кусочно-постоянная функция с конечным числом точек разрыва первого рода, то уравнение (3.9) можно непосредственно проинтегрировать [33]. Интегрируя первый раз, получаем уравнение.

где С — постоянная интегрирования.

Уравнение (3.12) запишем в виде.

Соотношение 1/Х (х) из (3.13) по аналогии с (3.6) можно записать как.

).

Подставляя (3.14) в (3.13), получаем уравнение.

Интегрируя (3.15), получаем уравнение.

где С₂ — постоянная интегрирования.

Второй интеграл в правой части соотношения (3.16) ввиду свойства асимметричной единичной функции приводится к виду.

Определяя интегралы в правой части соотношения (3.16), будем иметь уравнение

Постоянные интегрирования С и С₂ находятся из граничных условий (3.10), (3.11). Подставляя (3.18) в (3.10), получаем уравнение.

Так как оба члена в квадратных скобках обращаются в нуль, то С> = Г₍₁.

Подставляя (3.18) в (3.11), получаем уравнение.

Отсюда

Соотношение (3.16) с учетом найденных значений C_t и С₂ принимает вид

Соотношение (3.22) описывает распределение температуры в и-слойном теле при несимметричных граничных условиях первого рода. Сделаем проверку полученного решения применительно к двухслойной стенке при следующих исходных данных:

Соотношение (3.22) для двухслойной стенки будет иметь вид.

Используя соотношение (3.23), найдем температуру в точке контакта слоев, т. е. при х = Х.

С учетом приведенных выше исходных данных находим Т (рс{) = 50 °C.

Полученное значение температуры совпадает с точным решением.

Сделаем проверку выполнения условий сопряжения (3.3), (3.4). Для этого запишем соотношение (3.23) соответственно для первого и второго слоев:

Подстановкой (3.25), (3.26) в (3.3), (3.4) можно убедиться, что условия сопряжения в данном случае выполняются.

Таким образом, применение асимметричной единичной функции позволяет получать эффективные аналитические решения задач теплопроводности для многослойных конструкций, рассматривая их как однослойные с переменными (кусочно-однородными) свойствами среды. Преимущество такого метода состоит в том, что в процессе получения решения определению подлежат лишь две константы интегрирования, которые находятся из граничных условий краевой задачи. Найдем решение уравнения (3.9) в случае несимметричных граничных условий третьего вода вида.

где (Xj, (Х2 — коэффициенты теплоотдачи; Г_ср1, Г_ср2 (7″ _cpt > Г_ср2) — температуры сред.

Подставляя (3.18) в (3.27), (3.28), относительно постоянных интегрирования С и С₂ получаем систему двух алгебраических линейных уравнений. Ее решение.

С учетом найденных значений С и С₂ соотношение (3.18) принимает вид

Например, для двухслойной стенки соотношение (3.31) будет иметь вид.

Найдем решение уравнения (3.9) при смешанных граничных условиях второго и третьего родов. Допустим, что при х = х₀ многослойная стенка нагревается постоянным тепловым потоком q, а при х = х_п охлаждение стенки происходит по закону Ньютона. Граничные условия в этом случае имеют вид.

Подставляя (3.18) в (3.33), находим С_{ = -q. Подставляя (3.18) в (3.34), будем иметь.

Подставляя найденные значения коэффициентов С и С₂ в соотношение (3.18), находим.

Соотношение (3.35), например, для двухслойной пластины примет вид.