Оценка погрешности интерполяции

Пусть для функции/(х) построен интерполяционный полином Р"(х). Встает вопрос: можно ли оценить точность замены функции на заменяющий ее полином? В целом ответ на этот вопрос можно найти, используя теорию рядов, в частности при рассмотрении формулы Тейлора [15]. На основе этой теории доказана следующая теорема.

Теорема 2.1 [7]. Если функция fix) на отрезке [а; Ъ] дифференцируема п + 1 раз, тогда для любой точки этого отрезка справедливо равенство

где х₀, х₁, х₂,…, х_п—узлы интерполяции, ?, е[а;Ь].

Поскольку точка х = ?, неизвестна, используют оценку погрешности сверху.

где

Пример 2.5.

Оценим погрешность вычисления значения функции, указанной в примере 2.4.

Решение. Сначала запишем интерполирующий полином в форме Лагранжа первой степени:

Формула (2.11) примет вид

Выберем х₀ = 1,2, Xj= 1,3. Вычислим при помощи интерполирующего полинома значение функции в точке х = 1,23:

Теперь оценим погрешность полученного результата. Так как (эта функция имеет на отрезке [1,2; 1,3] наибольшее значение в точке х = 1,2), то.

Тогда в соответствии с формулой (2.11) получим следующее значение оценки погрешности:

При использовании полинома Лагранжа второго порядка оценка погрешности есть величина е₂ = 6,9 • 10~⁵.

Примечание 2.2. Оценка (2.11) дает хорошие результаты только внутри отрезка, содержащего узлы интерполяции, и в непосредственной окрестности его границ. При этом точность тем выше, чем более гладко ведет себя (п + 1)-я производная рассматриваемой функции.