Решение дифференциальных уравнений

Значительная часть моделей, описывающих изменения некоторых показателей (в том числе и в пространстве, и во времени) формализуется в виде дифференциальных уравнений с различными ограничениями.

По существу, типов дифференциальных уравнений немного: это могут быть обыкновенные дифференциальные уравнения п-то порядка или их системы, а также дифференциальные уравнения в частных производных и их комбинации.

Поскольку дифференциальное уравнение имеет множество решений благодаря появлению произвольных постоянных при интегрировании, возникает необходимость в каждом конкретном случае вводить дополнительные условия. Предложения получить решение данного дифференциального уравнения с заданными начальными (и (или) граничными) условиями называют задачами. Некоторые из них имеют специальные названия, например задача Коши, краевая задача и др.

Разновидностей дифференциальных уравнений, как моделей, сравнительно мало. Однако они описывают все многообразие физического мира. Например, движение любой материальной точки описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Все бесконечное многообразие исследуемых при помощи дифференциальных уравнений явлений обусловлено различными начальными и граничными условиями, количество которых безгранично.

С математической точки зрения решения дифференциальных уравнений, вообще говоря, — это достаточно сложные задачи. Если в результате решения уравнения получается число (для систем — вектор), решением дифференциального уравнения является функция. Многие из них не имеют точного аналитического решения или найти его чрезвычайно трудно. Поэтому в большинстве практических случаев применяются численные (приближенные) методы решения. При применении численных методов поочередно (пошагово) получают приближенные значения этих искомых функций в отдельных заданных точках.

Различают два основных класса методов решения дифференциальных уравнений.

В одношаговых методах для нахождения очередного значения функции требуется знать ее значение только в одной точке, например

В основе большинства одношаговых методов лежит идея поиска приближенных решений в виде части ряда Тейлора для искомых функций. Количество оставленных членов ряда и определяет точность получаемого решения.

Многошаговые методы характеризуются тем, что для вычисления значения функции в очередной точке используют уже известные в нескольких точках значения, например

Эти методы базируются, как правило, на поиске аппроксимирующих искомое решение функций, от которых затем берется интеграл.

Для большинства методов решения дифференциальных уравнений разработаны эффективные машинные методы решения. Рассмотрим лишь некоторые из них, для того чтобы проиллюстрировать некоторые основные идеи этих методов.