Неевклидова окружность. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

данная точка, то неевклидова окружность есть евклидова кривая, имеющая уравнение:

или

Из последнего уравнения мы усматриваем, что оно изображает окружность внутреннюю к фундаментальной, принадлежащую к пучку окружностей с точками Понселе г и -=?, симметричными относительно Г. Точками Понселе

пучка окружностей называют две точки, симметричные относительно каждой окружности пучка, или, что-то же, основание пучка, ортогонального к данному. Всякая внутренняя к Г окружность может быть, очевидно, рассматриваема и притом однозначным способом как неевклидова окружность. Точка г_х называется неевклидовым центром, неевклидовы прямые, выходящие из — неевклидовыми радиусами. Легко видеть, что они ортогональны к неевклидовой окружности и ко всем окружностям с тем же неевклидовым центром. В самом деле, это будут окружности, ортогональные к Г и проходящие через г_ъ а значит, они будут ортогональны ко всем окружностям пучка с точками Понселе г_х и —.

г

Неевклидова длина кривой.

Длина дуги кривой в геометрии Лобачевского определяется, как и в евклидовой геометрии, посредством вписанной в нее ломаной линии и перехода к пределу. Отсюда следует, что для определения неевклидовой длины дуги кривой нужно взять точки деления на евклидовом изображении, образовать сумму неевклидовых расстояний всех пар последовательных точек и перейти к пределу. Мы знаем, что неевклидово расстояние точек г и z—bz равно k In? — ^r-, где /? = ,-=— ^ _д. Счи;

1 г |1—{z-f-&z)_z I.

тая &z бесконечно малым, мы видим, что эго расстояние эквивалентно _ОА 2k |Дг| 2k |Д*| _.

2kr=--—, и следовательно,. Таким образом, мы получаем,.

l-(z + bz) z 1 — И² * ^J

что

где е стремится к нулю вместе с |Дл| равномерно относительно z во всякой замкнутой области, расположенной внутри G. Отсюда непосредственно видно, что неевклидова длина дуги ?., внутренней к Г, будет: