Определение общего вида аппроксимирующей функции

Процедура определения общего вида приближающей функции принципиально не формализуема. Чаще всего вид аппроксимирующей функции определяется исходя из априорной информации о рассматриваемом процессе, имеющей качественный характер. Например, функция должна плавно меняться (быть гладкой, периодической, четной и т. п.). В некоторых случаях известны и количественные характеристики. Например, функция на данном отрезке имеет только один максимум, значение максимума не превышает известной величины, известен период функции и другие параметры. Если известны некоторые, хотя бы приближенные значения аппроксимируемой функции, целесообразно построить соответствующий полигон. Анализ расположения точек на полигоне (см. ч. 2 книги) позволит более объективно подойти к выбору общего вида аппроксимирующей функции. Иногда вид функции становится известным из так называемых физических соображений.

Приведем лишь один пример.

Пример 2.1.

Изучается динамика популяции некоторых организмов. Если известно, что число организмов со временем может возрастать или убывать пропорционально исходному числу особей, то функция, описывающая изменение во времени количества организмов, скорее всего имеет следующий вид:

где п₀ — исходное количество особей; а — коэффициент рождаемости; Р — коэффициент смертности.

В самом общем случае аппроксимирующую функцию строят в виде обобщенного полинома Q_n(x) порядка п, который имеет вид.

где {ф,(х)} — фиксированная система функций, так называемая система основных функций.

При удачном выборе системы основных функций за счет выбора степени обобщенного полинома и подбора коэффициентов (с₀, с_х, с₂, …, с") может быть построен обобщенный полином, эффективно решающий задачу аппроксимации функции.

На практике наибольшее распространение получила система основных функций в виде последовательности целых неотрицательных степеней аргумента х, т. е. ф_;(х) = х', где i = 0, 1, 2, п.

В этом случае обобщенные полиномы превращаются в обычные полиномы.

Успех эффективного применения полиномов в качестве аппроксимирующих функций обусловлен тем, что они могут рассматриваться как отрезок ряда Тейлора, в который разложима аппроксимируемая функция. Действительно, если ряд Тейлора сходится к данной функции, то каждая частичная сумма этого ряда Р"(х) есть приближение функции [15]. При этом, вообще говоря, приближение тем лучше, чем больше членов в частичной сумме.