Модели и методы статистического прогнозирования показателей состояния окружающей среды в регионе

Наиболее простыми моделями статистического прогнозирования эколого-экономических показателей являются трендовые модели, т. е. модели, в которых рассматривается изменение исследуемого показателя F во времени (F_t, t = 1, 2, Т). В этом случае для прогноза показателя F можно использовать модели времени Т (?), т. е. трендовые модели вида: F= Ч^/(t).

Если установить наиболее подходящую зависимость и определить ее параметры, то для получения прогноза следует подставить в данную функцию год прогноза ?*: F- ЧДГ) — Такие модели зачастую используются для краткосрочного и среднесрочного прогнозирования.

Наиболее часто в эколого-экономических исследованиях используются полиномиальные, экспоненциальные и 5-образные кривые роста (табл. 5.9).

Для того чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждой функциональной зависимости. Чтобы дать количественную оценку изменении динамического ряда анализируемого показателя, наиболее часто используется метод аналитического выравнивания. В этом случае фактические уровни ряда заменяются теоретическими, рассчитанными по определенной кривой, отражающей общую тенденцию изменения показателя во времени.

Таблица 5.9

Виды моделей для трендового прогноза эколого-экономических показателей.

Коэффициенты а₀, а_х, а₂ должны быть определены таким образом, чтобы график зависимости анализируемого показателя от времени проходил возможно ближе к фактическим значениям F_t. Самым распространенным и теоретически обоснованным методом нахождения оценок коэффициентов зависимости является метод наименьших квадратов. Этот метод достаточно прост с точки зрения вычислительной процедуры и дает хорошие по статистическим свойствам оценки коэффициентов искомой зависимости.

В методе наименьших квадратов необходимо минимизировать расхождение между фактическими значениями F_t и их аппроксимацией Ч'(х,) искомой зависимостью во всех точках наблюдений t = 1,2,…, Т. Поскольку отклонение может быть как в меньшую, так и в большую сторону, то разность этих значений целесообразно возвести в квадрат. Поэтому в методе наименьших квадратов значения коэффициентов а₀, а_{, а₂ отыскиваются исходя из минимизации функции:

где t — текущий момент наблюдения (год); Т — период наблюдения (конечный год).

Например, если рассматривается линейная зависимость, то функция будет записана в виде.

Поскольку функция Ф является квадратичной функцией а₀и непрерывной, выпуклой и ограниченной снизу (Ф > 0), то она имеет минимум. Необходимым условием существования функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных по искомым коэффициентам:

Раскрыв скобки, получим систему уравнений:

Методом подстановки несложно найти выражения для определения искомых коэффициентов регрессионной зависимости.

Пример 5.3.

Экологи проводят мониторинг состояния леса в регионе, одним из показателей служит урожайность белых грибов. После проведенных мероприятий урожайность грибов возрастает, что показано во втором столбце табл. 5.10.

Исходя из данных наблюдения за 16 лет несложно составить систему уравнений, которая позволит определить коэффициенты а₀ и а_х линейной регрессионной зависимости:

В результате решения данной системы уравнения будет найдена линейная регрессионная зависимость:

Подставив в полученное регрессионное уравнение года t от 1 до 16 можно найти аппроксимацию, т. е. приближенные значения анализируемого показателя, которые позволяет найти полученная с помощью метода наименьших квадратов регресснойпая зависимость (третий столбец табл. 5.10). В последнем столбце табл. 5.10 приведены значения отклонения аппроксимации от фактических значений.

Таблица 5.10

Исходные данные и результаты аппроксимации по урожайности белых грибов.

На рис. 5.3 закрашенные точки обозначают фактические данные, характеризующие годовой объем грибов, пунктирная линия отображает найденную регрессионную зависимость, не закрашенные точки на пунктирной линии — аппроксимация фактических значений.

Рис. 53. Графики фактических данных о весе белых грибов и их аппроксимация с помощью линейной функции F= 18,7 + 2,3 • t.

—•—фактические данные; —О—аппроксимация Если для прогноза предполагается использовать квадратичную зависимость, то для определения коэффициентов зависимости а₀, а_{1 а₂ будет получена система из трех уравнений:

Если же используется гиперболическая зависимость, то для расчета коэффициентов а₀ и а_х будет использована система из двух уравнений:

Поскольку полученные регрессионные зависимости с разной степенью точности приближают значения F_p то целесообразно найти ошибку аппроксимации. Ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле среднеквадратического отклонения:

Лучшей функцией, пригодной для прогноза, считается та, которая имеет минимальную ошибку аппроксимации. Таким образом выбирается функция, с помощью которой следует проводить прогноз исследуемого экологоэкономического показателя.

Пример 5.4.

В лесничестве «Берендеевское» проводится мониторинг охотничье-промысловых животных. В столбце 2 табл. 5.11 приведены данные о росте популяции лисиц за 16 лег.

Таблица 5.11

Исходные данные роста популяции лисиц в лесничестве и их аппроксимация.

Приведенные фактические данные об изменении численности популяции лисиц аппроксимируются с помощью линейной зависимости. Ниже приведена система линейных уравнений, решение которой позволяет определить коэффициенты линейной зависимости:

На основе решения системы уравнения получаем коэффициенты линейной зависимости F= 33,13 + 11,08 • t_y что позволяет построить линейную зависимость со среднеквадратическим отклонением, а = 11,53.

Для аппроксимации фактических данных о росте популяции лисиц с помощью квадратичной зависимости (полинома второй степени) следует решить систему уравнений:

В результате получена квадратичная зависимость: F = 4,44 + 20,64 • t — 0,56 • t², при этом средпеквадратическая ошибка равна 4,48. Поскольку среднеквадратическое отклонение для квадратичной функции меньше, то данная функция проходит ближе к фактическим значениям исследуемого показателя и лучше описывает изучаемые изменения. На рис. 5.4 представлены фактические данные и варианты аппроксимации с помощью линейной и квадратичной функций. Очевидно, что квадратичная функция проходит ближе к фактическим значениям численности популяции лисиц в лесничестве.

Рис. 5.4. Графики фактических данных и их аппроксимации с помощью линейной и квадратичной функций:

• • — фактические данные;——-линейная аппроксимация;
• —квадратичная аппроксимация

В выбранное уравнение регрессии подставляется значение будущего года t* и определяется прогнозное значение показателя:

Прогноз может быть определен в виде предполагаемых минимального и максимального значений: F*_max = F* + а и F*_min = F* - а. Более корректно интервал изменения моделируемого показателя оценивается с помощью доверительного интервала:

где, а = 95% — доверительная вероятность; Z_a/2= 1,96 — коэффициент доверия; Т — объем выборки.

Пример 5.5.

Проведем прогноз на основе выбранной в предыдущем примере квадратичной функции.

Для этого подставим в квадратичную функцию прогнозный момент времени t= 17. В результате получим:

Поскольку среднеквадратическая ошибка аппроксимации составляет 4,48, то верхняя граница прогноза равна 193,48 + 4,48 = 197,96, а нижняя граница прогноза — 193,48 — 4,48 = 189,0. Графическое отображение прогноза изменения популяции лисиц в регионе представлено на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Прогноз динамики численности лисиц в регионе на основе квадратичной функции:

• — фактические данные;—квадратичная аппроксимация Можно заметить, что ордината данной функции изменяется с постоянным темпом прироста. Если взять отношение прироста к самой ординате, оно будет постоянной величиной:

Прологарифмируем выражение для данной функции по любому основанию:

Отсюда можно заметить, что логарифмы ординат простой экспоненты линейно зависят от времени.

Модифицированная экспонента имеет вид Y_t=k + a-b^t, где постоянные величины а — меньше нуля, b — положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т. е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине к. Могут быть другие варианты модифицированной экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.

Если прологарифмировать первые приросты данной функции, то получится функция, линейно зависящая от времени, а если взять отношение двух последовательных приростов, то оно будет постоянной величиной:

Рассмотрим метод характеристик прироста, основанный на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Чтобы не потерять первый и последний уровни, их рассчитывают по формулам

уу _.

Затем вычисляются первые средние приросты: U_t = ^t+{ ?,? = 2, я-1,.

вторые средние приросты: U'^{а также} Р^{яд П}Р^0ИЗВ°Д^НЫХ величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными.

u_t, ₁ u_t. u_t

уровнями ряда: -Ц logU_t log—log-^-.

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используются данные, приведенные в табл. 5.12.

На практике при предварительном выборе отбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда. Для выбора наилучшего уравнения по каждой модели, при условии ее адекватности, рассчитывается скорректированный коэффициент детерминации. Выбирается уравнение с максимальным значением этого коэффициента.

Таблица 5.12

Рекомендации по выбору кривых роста.

Пример 5.6.

Введем условные обозначения: F_t — платежи за загрязнение окружающей среды в году t (t = 1,2,Т) x_t — показатель темпов роста производства продукции в году t (t = 1, 2,?‘); Т — период наблюдений; С — год прогноза (Т< ?*)• Для выполнения прогноза платежей за загрязнение окружающей среды необходимо воспользоваться моделью изменения эколого-экономических показателей F как функций ЧДх) темпов роста производства продукции:

где F — прогнозируемый эколого-экономический показатель — объем платежей за загрязнение атмосферного воздуха, водной среды или размещение отходов; х — аргумент функции (показатель темпов роста производства продукции).

Для определения прогнозного значения платежей на основе этой функции следует подставить темпы роста производства продукции в году t* - x_t" F = ЧДх,.);

При определении зависимости прогнозируемых значений платежей от темпов роста производства продукции целесообразно использовать следующие зависимости:

• • линейная — ЧД. г) = а₀ + а_{ х;
• • квадратичная — ЧДх) = а₀ + а, х + а₂ х²;
• • гиперболическая — ЧДх) = а₀ + a_t /х
• • обратная гиперболическая — ЧДх) = 1/(я₀ + а_л /х).

При прогнозе платежей как функции времени можно воспользоваться теми же функциями:

• • линейная — ЧДх) = а_{) -г а_х t
• • квадратичная — ЧДх) = а₀ + а_{ t + a₂t²;
• • гиперболическая — ЧДх) = а₀ + а_] /t;
• • обратная гиперболическая — ЧДх) = 1 /(а₀ + а_{ /t).

Значение коэффициентов а₀, а_х, а₂ определяются методом наименьших квадратов:

где t — текущий момент наблюдения (год); Т — период наблюдения (конечный год).

Ошибка аппроксимации рассчитывается, но формуле среднеквадратического отклонения:

Значительное место в прогнозировании эколого-экономических показателей занимают многофакторные модели. Общий вид многофакторной регрессионной модели:

где — переменная для фактора i (i =1,2,…, п).

Среди многофакторных моделей в прогнозировании эколого-экономических показателей наиболее распространены следующие:

• • линейная — у_{ =а₀ + а_их_х +… + а_пх_м + e_t;
• • степенная — y_t =а₀х_х}х ^ +?,;
• • гиперболическая — y_t =+ а_и / х_х +… + а_п / х_{п (} + е,;
• • логарифмическая гиперболическая — lny_t =а₀+ а_и /х_х +… + а_п/ x_nl + ?_t;
• • обратная линейная — 1 / y_t =а₀ + — + … + -^- + е_г

^Х1 ^Xnt

Необходимо отметить, что большинство функций с помощью определенных преобразований могут быть приведены к линейной форме, что позволяет определить коэффициенты этих моделей с помощью метода наименьших квадратов.

Пример 5.7.

Прогноз площади растительности на остров Земля Александры архипелага Земля Франца-Иосифа в случае отсутствия природоохранных мероприятий проводится на основе линейной многофакторной модели, показывающей рост площади Л’загрязнения от увеличения содержания в почве девяти вредных веществ (второй столбец табл. 5.13). Общий вид многофакторной модели:

Изменение содержания вредных веществ в почве рассчитывается с помощью трендовых моделей (столбец 3 табл. 5.13), причем для части веществ использовались линейные, а для части — квадратичные зависимости.

Таблица 5.13

Прогноз изменения содержания загрязняющих веществ в почве, мг/кг.

На основе статистической информации определена многофакторная регрессионная модель для прогнозирования изменения площади растительности на острове: Y = 13 857 + 1,5 • Х_{ + 68,7 • X, + 28,6 • Х₃ + 29,9 • Х₄ + 9,7 • Х₅ + 98,9 • Х₆ + 34,6 • Х₇ + + 198,5 • Х₈ + 92,7 • Х₉.

Подставляя полученные прогнозные значения загрязняющих веществ в приведенную многофакторную модель, можно получить ожидаемое увеличение загрязненной площади па острове Земля Александры (табл. 5.14).

Таблица 5.14

Результаты прогноза на основе многофакторной модели.

Многофакторные модели прогноза обычно являются продолжением трендовых моделей и несут гораздо большую информационную нагрузку. Эти модели можно использовать для выбора эффективных управленческих решений на основе варьирования входящих в модель аргументов и анализа получаемого при этом прогнозного значения анализируемого показателя.