Механический принцип относительности. 
Преобразования Галилея

В 3.1. отмечалось, что первый закон Ньютона равносилен выбору в качестве системы отсчета — инерциальной системы отсчета. Из опыта инерциальной системой отсчета считают гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета.

Из однородности и изотропности пространства сделан вывод о том, что должны существовать также инерциальные системы отсчета, покоящиеся относительно данной инерциальной системы отсчета, но связанные с разными телами отсчета (можно и повернуть систему отсчета вследствие изотропности пространства). Галилей делал подобные выводы на основании наблюдений.

Покажем теперь, что система отсчета К', движущаяся относительно покоящейся инерциальной системы отсчета К равномерно и прямолинейно с некоторой скоростью и = const, также является инерциальной (рис. 3.3).

Рис. 3.3.

Примем, для упрощения задачи, что в начальный момент времени t = О начала координат О и О' обеих систем отсчета и сходственные их оси совпадают. (Это не уменьшает общности результатов, так как поворот осей и смещение начала отсчета не играют роли в виду симметрии пространства).

Тогда взаимное расположение систем отсчета в произвольный момент времени / имеет вид, изображённый на рис. 3.3.

Определим теперь, как связаны между собой координаты материальной точки М в двух системах отсчета К и К'.

Радиусы векторы гиг' определяют положение точки М в системах отсчета К и К', соответственно. Из рис. 3.3.

Записав это векторное равенство в проекциях на оси координат, получим преобразования координат Галилея, соответствующие переходу от одной системы отсчета к другой (Г = Г').

Соотношения (3.6.2) выполняются только при выборе осей, показанном на рисунке.

Обозначим скорость и ускорение:

в системе отсчета К через, а в системе отсчета К' через.

dr dr'.

Используя (3.6.1), получим соотношение между й и й': — =—ьи; от;

dr d Г сюда получаем классическую формулу сложения скоростей:

Это соотношение справедливо только при скоростях движения значительно меньших скорости света с (и":с).

В (3.6.4): и — абсолютная скорость; й' - относительная скорость; 5 — переносная скорость.

du du' do.

Используя (3.6.4) и (3.6.3), получим — =—1—, где и = const,.

dr dr dr.

тогда,.

Итак, ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея, соответствующих переходу от одной системы отсчета к другой.

Если материальная точка М не подвержена действию других тел, то ускорение, а = 0. Тогда, согласно (3.6.5), а'= 0.

Рассмотрим теперь связь между силами в системах отсчета К и К', т. е. выясним, является ли свободная материальная точка в системе отсчёта К свободной и в системе отсчёта К'.

В общем случае силы взаимодействия между телами зависят либо от взаимного расположения тел (силы упругости, силы гравитационные и т. п.), либо от скорости их движения относительно друг друга (силы трения, силы сопротивления при неупругих деформациях).

Из соотношений (3.6.1) и (3.6.4) следует, что для любых двух материальных точек 1 и 2.

Таким образом, мы доказали инвариантность сил, рассматриваемых в механике (и кроме того кулоновских сил), относительно преобразований Галилея.

Значит, если F = 0, то и.

Из инвариантности сил непосредственно следует инвариантность третьего закона Ньютона.

Из (3.6.6) и (3.6.5) следует, что и движущаяся система отсчёта К подобно системе отсчёта К, является инерциальной. Обобщая полученное, сделаем следующий вывод: все системы отсчёта, покоящиеся или движущиеся равномерно и прямолинейно относительно заведомо инерциальной системы отсчета, являются тоже инерциальными.

Принимая без доказательств (т. е. постулируя), в соответствии с классическими представлениями, что масса т = /;?', получаем.

Мы можем теперь сказать, что второй закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея.

Полученные результаты составляют содержание механического принципа относительности (принцип относительности Галилея).

Принцип относительности Галилея

Все инерциальные системы отсчета равноправны в отношении механический явлений, или иначе говоря: никакими механическими опытами невозможно отличить одну инерциальную систему отсчета от другой и выделить ее как преимущественную, или принять за абсолютно неподвижную.

Механический принцип относительности является обобщением опыта и подтверждается всем многообразием приложений классической механики к движению тел, скорости которых и с.

Замечание. Одно и то же явление может выглядеть по-разному в разных системах отсчета потому, что второй закон Ньютона выражается дифференциальными уравнениями, а таких уравнений недостаточно, чтобы полностью описать движение. Для этого к дифференциальным уравнениям необходимо присоединить начальные условия (r₀, х₀, у₀, z₀, б₀), которые входят в уравнения кинематики и зависят от выбора системы отсчёта.