Электромагнитные колебания. 
Электромагнетизм, оптика, квантовая физика

Колебательный контур. Гармонические колебания

Электромагнитные возмущения распространяются в пространстве и в различных радиотехнических устройствах со скоростью света с = = 3 • Ю⁸м/с. Расстояние / = 3 м электромагнитное возмущение пробегает за время т = 1/с = 10″⁸ с. Поэтому мгновенные значения силы тока во всех точках однородного участка цепи практически одинаковы. Такие токи называют квазистационарными. Мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома и правилам Кирхгофа. Одно из правил Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма падений напряжения в замкнутой электрической цепи (контуре) равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этой цепи:

Электрическая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности, называется колебательным контуром (рис. 9.1). Сила тока /, текущего в контуре, а также заряд Q и напряжение U на конденсаторе изменяются с течением времени: / = /(<), Q = Q (<) и U = U (t). Найдем эти функции. Согласно правилу Кирхгофа (9.1) падение напряжения на конденсаторе U равно ЭДС в катушке индуктивности:

Рис. 9.1.

Колебательный контур

Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду на его обкладках:

а ЭДС самоинду кции в катушке определяется формулой.

Подставив (9.3) и (9.4) в равенство (9.2), получим уравнение.

Выразим из соотношений (9.3) и (9.6) заряд на конденсаторе и силу тока в контуре через напряжение между обкладками конденсатора:

Подстановка этих выражений в равенство (9.5) после элементарных преобразований приводит к уравнению.

Уравнение (9.9) есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Нетрудно доказать, что общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид.

где U_m — амплитуда напряжения, а — начальная фаза. Величина (9.10) называется собственной частотой электромагнитных колебаний в контуре. Функция (9.11) описывает гармонические колебания напряжения на обкладках конденсатора. Амплитуда U_m и начальная фаза о этих колебаний могут быть найдены из начальных условий. Период колебаний.

Это соотношение называется формулой Томсона.

Зная зависимость (9.11) напряжения на конденсаторе от времени t, по формулам (9.7) и (9.8) можно установить, как изменяются со временем заряд на обкладках конденсатора и сила тока в контуре:

где.

— амплитуды заряда и тока соответственно.

Имея в виду формулу (9.6), умножим левую часть равенства (9.5) на производную Q, а правую — на /. Полученное уравнение

можно преобразовать к виду.

Из этого равенства следует, что выражение в круглых скобках не изменяется с течением времени:

Первое слагаемое в левой части этого равенства есть энергия электрического поля в заряженном конденсаторе.

а второе.

— энергия магнитного поля в катушке. Равенство (9.17) выражает собой закон сохранения энергии, согласно которому полная энергия в контуре, равная сумме энергий электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке, со временем не изменяется.

Задача 1. Доказать, что функция (9.11) является решением уравнения (9.9).

Задача 2. Найти зависимости от времени энергий электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке. Доказать, что их сумма со временем не изменяется.