Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела

Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех п материальных точек (частиц), на которые это тело можно мысленно разбить (рис. 6.8).

Если тело вращается вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью со, то линейная скорость любой /-той частицы, расположенной на расстоянии к от оси вращения, равна:

Подставив (6.6.2) в (6.6.1) и проведя преобразования, получим:

где J_z — момент инерции тела относительно оси вращения Oz. Кинетическая энергия тела в случае вращения его вокруг неподвижной точки определяется выражением:

где: J_м — момент инерции тела относительно мгновенной оси, проходящей через покоящуюся точку, со — соответствующая угловая скорость. В этом случае момент инерции J_м зависит от времени, так как положение мгновенной оси вращения по отношению к системе координат, связанной с телом, в процессе вращения меняется.

Фундаментальность законов сохранения и их связь с симметрией пространства и времени

В предыдущих разделах рассмотрены три фундаментальных закона природы: закон сохранения импульса, момента импульса и механической энергии. Следует понимать, что эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета.

В самом деле, при выводе этих законов мы пользовались вторым и третьим законами Ньютона, а они применимы только в инерциальных системах. Напомним также, что импульс и момент импульса сохраняются в том случае, если система замкнутая (сумма всех внешних сил и всех моментов сил равна нулю). (Заметим, что момент импульса системы тел сохраняется, если система не замкнута, но М^^ш =0). Для сохранения же энергии тела условия замкнутости недостаточно — тело должно быть еще и адиабатически изолированным (то есть не участвовать в теплообмене).

Во всей истории развития физики законы сохранения оказались, чуть ли не единственными законами, сохранившими свое значение при замене одних теорий другими. Эти законы тесно связаны с основными свойствами пространства и времени.

• • В основе закона сохранения механической энергии лежит однородность времени, то есть равнозначность всех моментов времени (симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени). Равнозначность следует понимать в том смысле, что замена момента времени t на момент времени t₂, без изменения значений координат и скорости частиц, не изменяет механические свойства системы. Это означает то, что после указанной замены, координаты и скорости частиц имеют в любой момент времени /₂ +1 такие же значения, какие имели до замены, в момент времени t_x+t.
• • В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, то есть одинаковость свойств пространства во всех точках (симметрия по отношению к сдвигу начала координат). Одинаковость следует понимать в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое, без изменения взаимного расположения и скоростей частиц, не изменяет механические свойства системы.
• • В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, то есть одинаковость свойств пространства по всем направлениям (симметрия по отношению к повороту осей координат). Одинаковость следует понимать в том смысле, что поворот замкнутой системы, как целого, не отражается на её механических свойствах.

И наконец, следует сказать о симметрии классической механики по отношению к направлению хода времени t — его возрастанию или убыванию. Формально это следует из инвариантности уравнений механики по отношению к замене переменной / на — /.

В самом деле, исходное уравнение ньютоновской механики — уравнение второго закона Ньютона.

полностью сохраняет свой вид, если произвести замену t на t' = —t и р на р' = -р, то есть изменить направление хода времени, а также изменить направление движения материальной точки на противоположное:

Эта симметрия уравнений классической механики свидетельствует об обратимости механических процессов: если механическая система совершает какое-либо движение, то она может под действием тех же сил совершать и прямо противоположное движение, при котором будет проходить через те же самые промежуточные конфигурации в обратном порядке.

Между законами типа основного уравнения динамики и законами сохранения имеется принципиальная разница. Законы динамики дают нам представление о детальном ходе процесса. Так, если задана сила, действующая на материальную точку, и начальные условия, то можно найти закон движения, траекторию, величину и направление скорости в любой момент времени и т. п. Законы же сохранения не дают нам прямых указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены и потому в природе не происходят.

Таким образом, законы сохранения проявляются как принципы запрета: любое явление, при котором не выполняется хотя бы один из законов сохранения, запрещено, и в природе такие явления никогда не наблюдаются. Всякое явление, при котором не нарушается ни один из законов сохранения, в принципе может происходить.

Рассмотрим следующий пример. Может ли покоящееся тело за счет внутренней энергии начать двигаться? Этот процесс нс противоречит фундаментальному закону сохранения энергии. Нужно лишь, чтобы возникающая кинетическая энергия точно равнялась убыли внутренней энергии.

На самом деле такой процесс никогда не происходит, ибо он противоречит закону сохранения импульса. Раз тело покоилось, то его импульс был равен нулю. А если оно станет двигаться, то его импульс сам собой увеличится, что невозможно. Поэтому внутренняя энергия тела не может превратиться в кинетическую, если тело не распадётся на части.

Если же допустить возможность распада этого тела на части, то запрет, налагаемый законом сохранения импульса, снимается. При этом возникшие осколки могут двигаться так, чтобы их центр масс оставался в покое, — а только этого и требует закон сохранения импульса.

Итак, для того чтобы внутренняя энергия покоящегося тела могла превратиться в кинетическую, это тело должно распасться на части. Если же есть еще один какой-либо закон, запрещающий распад этого тела на части, то его внутренняя энергия и масса покоя будут постоянными величинами.

Фундаментальность законов сохранения заключается в их универсальности. Они справедливы при изучении любых физических процессов (.механических, тепловых, электромагнитных и др.). Они одинаково применимы в релятивистском и нерелятивистском движении, в микромире, где справедливы квантовые представления, и в макромире, с его классическими представлениями.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса играют чрезвычайно большую роль в понимании хода физических процессов.

Ранее было отмечено, что если мы даже не знаем закона действия сил, законы сохранения позволяют нам обычно сделать многие важные заключения о характере движения. Спрашивается, в какой мере это убеждение справедливо? Ведь при выводе, например, закона сохранения импульса предполагалось, что силы взаимодействия между материальными точками системы удовлетворяют третьему закону Ньютона (такие силы обычно называются ньютоновскими). Поэтому, вообще говоря, вышеизложенное не дает оснований делать заключение об универсальном характере законов сохранения. Нельзя исключить такой возможности, что их существование связано с конкретными свойствами сил и уравнений движения. При других силах эти законы, возможно, и нс действуют. Однако такое утверждение является неправильным.

Дело в том, что существование законов сохранения энергии, импульса и момента импульса обуславливается не какими-то свойствами конкретных сил и уравнений движения, а коренными свойствами пространства и времени. Закон сохранения импульса обусловлен однородностью пространства, закон сохранения момента импульса — изотропностью пространства, а закон сохранения энергии — однородностью времени.

Поэтому, если бы где-то было открыто явление, противоречащее закону сохранения импульса, то нам пришлось бы усомниться в таком фундаментальном свойстве пространства, как его однородность. Но для этого надо иметь весьма и весьма убедительные экспериментальные основания. Более разумным является допущение, что нами не учтены какие-то не известные в настоящее время факторы. Именно таким образом было предсказано существование нейтрино. В явлениях р — распада наблюдалось несоблюдение закона сохранения импульса. Вместо того, чтобы отсюда сделать заключение о нарушении неоднородности пространства, было предложено, что в процессе участвует частица, которую по каким-то причинам не удается обнаружить. Участие этой частицы обеспечивает соблюдение закона сохранения импульса и делает ненужным пересмотр наших представлений о свойствах пространства. Эта частица была названа нейтрино. Экспериментально ее существование было доказано много лет спустя.

Аналогичным образом обстоит дело и с законами сохранения энергии и момента импульса. Дело не в том, что эти законы должны всегда соблюдаться, а в том, что их несоблюдение связано с коренными изменениями свойств пространства и времени.

Однородность и изотропность пространства и однородность времени являются их важнейшими симметриями. Поэтому можно сказать, что законы сохранения обусловлены симметрией пространства и времени. Общее доказательство этого утверждения дается, например, в теоретической механике и здесь не приводиться.