Задача об инвестициях с переменной функцией затрат

Рассмотрим более общую ситуацию, когда и затраты на проект I (первоначальные вложения), и поток платежей Р, связанный с проектом (релевантный, инкрементальный денежный поток), являются неопределенными и следуют геометрическому броуновскому движению. Предположим, что неопределенность этих двух случайных процессов коррелирована из-за некоторых общих макроэкономических воздействий. Таким образом, предположим, что.

причем dW’f, = сit, dWf = dt dW_PdW, = pdt, где W обозначает винеровский процесс.

Денежный поток инвестиционного проекта Р следует геометрическому броуновскому движению:

и его ожидаемое значение растет с темпом а. Если будущие доходы дисконтируются по ставке р, то ожидаемая сегодняшняя ценность V проекта, когда текущее значение денежного потока (платеж в настоящий момент) есть Р, равняется.

потому что E (dP) = а_РЕ (P)dt, откуда Е (Р) = Е (Р₀)е^аР⁽, и в частности E (P_S) = = Е (Р_г)е^аР^~^с д_Р= ц_Р— а.р.

Величина P_t/b есть ожидаемая в момент времени t сегодняшняя стоимость потока платежей P_s (s > t), когда начальный уровень равен Р_г потому что E (P_S) = Р, е^аР~Р, а дисконтирование производится по подходящей скорректированной на риск ставке р.

Модель оценки доходности финансовых активов (САРМ) позволяет нам определить скорректированную на риск ставку дисконтирования р. Для этого нужно, чтобы стохастические флуктуации Р реплицировались финансовыми рынками, т. е. чтобы существовал торгуемый на финансовом рынке актив или чтобы можно было построить динамический портфель из торгуемых на финансовом рынке активов, полностью коррелированный с Р. Для простоты рассмотрения можно предположить, что выпуск данного проекта непосредственно торгуется. В этом случае ставка дисконтирования р будет рыночной скорректированной на риск ожидаемой нормой доходности Р.

Имеем, как и ранее, р = г + /iOT, где г — ставка дисконтирования, соот;

V —V

ветствующая безрисковому денежному потоку; (р = ——рыночная пре;

мия за риск (г_т — ожидаемая доходность рынка, а_т — стандартное отклонение этой доходности); р_/)т — коэффициент корреляции между данным активом, который отслеживает Р, и всем рыночным портфелем.

Инвесторы согласятся держать выпуск проекта или актив, полностью коррелированный с Р, только если они получают ожидаемую полную норму доходности р. Отсюда а принимает форму ожидаемого увеличения капитала (capital gain). Остаток б должен представлять собой некоторый род дивиденда. Если, например, выпуск является складируемым товаром (нефть или медь), то б представляет собой чистую предельную доходность от удобства хранения, т. е. поток выгод за вычетом затрат на хранение, которую производит последняя единица хранения. Эти выгоды могут включать в себя увеличение возможности бесперебойного производства, избежание остановок, облегчение планирования производства и сбыта.

«Доходы от удобства» являются причиной того, что фирмы держат предметы, внесенные в инвентарь, даже если ожидаемый прирост капитала от них ниже скорректированной на риск ставки или даже отрицательный. Обычно ожидают, что для большинства товаров предельная доходность хранения обратно пропорционально зависит от полного количества запаса.

Будем считать 5 экзогенно заданным параметром, хотя на практике он может меняться, и мы также можем учесть это в нашей модели.

Когда некоторые основные параметры меняются, равновесное соотношение р — а = б по-прежнему должно выполняться, но какие из трех величин изменить для восстановления равновесия, зависит от лежащей в основе технологии. Мы предполагаем, что безрисковая ставка г и рыночная цена риска ф, будучи свойствами всего рынка, являются экзогенными для нашего анализа.

Когда, а цены актива, приносящего Р, возрастает, р также должно возрасти. Если, а есть фундаментальная рыночная постоянная, тогда, а должно меняться в соответствии с изменением р. Однако если, а — фундаментальная рыночная постоянная, то, а должна меняться, например может измениться полное количество запасов. Когда исследуются воздействия изменений 5 на инвестиционное решение фирмы, ответ будет зависеть от того, какая из этих точек зрения принимается. Вообще говоря, 8 будем рассматривать как основной параметр и допускать изменения а.

Ценность опциона, т. е. права на то, чтобы инвестировать, зависит от Р, и от /. Интуитивно ожидаем, что этот опцион будут держать на руках, когда P_t низкая или I высокие, и будут исполнять, когда P_t становится достаточно высокой для данной / или же I становятся достаточно низкими для данной P_t.

Рисунок 8.5 показывает предполагаемые области на плоскости (/, Р), соответствующие ожиданию и принятию инвестиционного проекта, и границ, разделяющих их.

Рис. 85

Здесь важно сделать свои интуитивные представления более точными и развить аналитический метод нахождения границы двух областей и тем самым — определения оптимального инвестиционного правила.

Дальнейшие шаги должны быть привычными. Пусть Р (Р, /) — ценность опциона на то, чтобы инвестировать. Надо найти уравнение для него. Предполагаем, что и утопленные, т. е. невозвратные, затраты, и цена выпуска потока платежей покрываются (spanned), или реплицируются, существующими активами, и поэтому работаем с активами, цены которых равны соответственно Ри I. Назовем эти активы для краткости «выпуск» и «капитал». Рассмотрим портфель, состоящий из одной единицы нашего опциона Р, короткой позиции относительно т единиц выпуска и короткой же позиции относительно п единиц капитала. Ценность такого портфеля.

Рассмотрим изменение ценности портфеля за короткий временной интервал dt. С помощью формулы Ито получаем.

откуда.

Заметим, что dP и dl в правой части уравнения стохастические, однако положив т = Fp, n = Ff, избавимся от этих слагаемых и сделаем наш портфель безрисковым. Тогда держатель портфеля за интервал времени (t t + dt) будет иметь безрисковое увеличение капитала.

Держатель портфеля также должен выполнить платеж, соответствующий доходности от удобства выпуска и капитала, держателям длинной позиции. Таким образом, доход от портфеля равен.

Доход от нашего портфеля по безрисковой ставке за короткий временной промежуток dt равняется Фrdt.

Из условия отсутствия арбитража следует, что.

откуда, группируя слагаемые, получаем следующее основное уравнение:

Это уравнение в частных производных, так как есть две неизвестные переменные Р и /. Оно справедливо в той области плоскости (Р, /), где оптимально держать опцион неисполненным. На границе данной области, где опцион немедленно исполняется,.

Должны также выполняться условия гладкого склеивания (касательные плоскости на границе должны совпадать): Fp (P_y I) = V'(P) = РДР, /) = -1.

Ор

Данное дифференциальное уравнение вместе с граничными условиями должно определить положение самой границы и породить решение для функции F в области ожидания. Тот факт, что граница является неизвестной, делает задачу очень трудной. Теория дифференциальных уравнений в частных производных очень мало что может сказать о задачах со свободной границей. Аналитическое решение существует редко, а численные методы разрабатываются для каждой частной ситуации в отдельности. В принципе ситуация не отличается от этой задачи, даже когда только цена является неопределенной; инвестиционный порог Р* неизвестен и является точкой свободной границы, которая отделяет одномерную область значений Р, где инвестиции делаются, от области, где они не делаются. К счастью, в рассматриваемом случае естественная однородность задачи позволяет свести ее к одному измерению.

Если текущие значения Р и I удвоить, то удвоятся ценность проекта и, таким образом, затраты на инвестирование. Оптимальное решение, следовательно, должно зависеть только от отношения р = Р/I и, следовательно, граница на рисунке должна представлять собой луч из начала координат. Соответственно, ценность опциона должна быть однородной степени 1 от (Р_у /), позволяя записать: f (P, I) = 1/(Р/Г) = //(/?), где / — функция, подлежащая определению. Последовательно дифференцируя, получаем.

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение и группируя слагаемые, получаем.

Это обыкновенное дифференциальное уравнение для неизвестной функции J (p) от скалярной независимой переменной р.

Граничные условия принимают вид.

Любое из этих трех условий можно вывести из двух других. Характеристическое уравнение (fundamental quadratic) нашего дифференциального уравнения имеет вид.

Пусть pj — больший корень. Если 5₇ и 8_Р больше нуля (как мы предполагали), то pj > 1. Тогда находим.

Этот луч, проходя через начало координат, разделяет области ожидания и инвестирования в плоскости (Р, Г). Если 8_Р и S₇ увеличиваются, Pj будет возрастать. Однако множитель будет убывать,.

Pi.

Pt-i.

убывать и множитель если р возрастает; при сохранении постоянными вариаций Р и / чем больше будет ковариация между изменениями в Р и /, тем меньше неопределенность в их отношении и, следовательно, ценность ожидания будет уменьшаться.