Доверительные интервалы прогноза.
Оценка адекватности и точности моделей
На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать «вилку» возможных значений прогнозируемого показателя, т. е. вычислить прогноз интервальный. Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т. е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К… Читать ещё >
Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Планирование и прогнозирование
в условиях рынка"
на тему: Доверительные интервалы прогноза
Оценка адекватности и точности моделей
- Глава 1. Теоретическая часть 3
- Глава 2. Практическая часть 9
- Список используемой литературы 13
Глава 1. Теоретическая часть
Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей
1.1 Доверительные интервалы прогноза
Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.
На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать «вилку» возможных значений прогнозируемого показателя, т. е. вычислить прогноз интервальный.
Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:
1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;
2. погрешностью оценивания параметров кривых;
3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.
Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:
(1.1.),
где n — длина временного ряда;
Lпериод упреждения;
yn+L -точечный прогноз на момент n+L;
ta— значение t-статистики Стьюдента;
Sp— средняя квадратическая ошибка прогноза.
Предположим, что тренд характеризуется прямой:
Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра ао приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a1— к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:
(1.2.),
где — дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;
t1 — время упреждения, для которого делается экстраполяция;
t1 = n + L ;
t — порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,…, n;
— порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда,
Тогда доверительный интервал можно представить в виде:
(1.3.),
Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т. е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= taK. Тогда интервальная оценка будет иметь вид:
(1.4.),
Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:
(1.5.),
или
(1.6.),
Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:
(1.7.),
где yt— фактические значения уровней ряда,
— расчетные значения уровней ряда,
n— длина временного ряда,
k — число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.
Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.
Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении Sy, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения
Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда
Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.
По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).
В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n: чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.
Таблица 1.1.
Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).
Линейный тренд | Параболический тренд | |||
Длина ряда (п) | Период упреждения (L) 1 2 3 | длина ряда (п) | период упреждения (L) 1 2 3 | |
2,6380 2,8748 3,1399 | 3,948 5,755 8,152 | |||
2,4631 2,6391 2,8361 | 3,459 4,754 6,461 | |||
2,3422 2,4786 2,6310 | 3,144 4,124 5,408 | |||
2,2524 2,3614 2,4827 | 2,926 3,695 4,698 | |||
2,1827 2,2718 2,3706 | 2,763 3,384 4,189 | |||
2,1274 2,2017 2,2836 | 2,636 3,148 3,808 | |||
2,0837 2,1463 2,2155 | 2,536 2,965 3,516 | |||
2,0462 2,1000 2,1590 | 2,455 2,830 3,286 | |||
2,0153 2,0621 2,1131 | 2,386 2,701 3,100 | |||
1,9883 2,0292 2,0735 | 2,330 2,604 2,950 | |||
1,9654 2,0015 2,0406 | 2,280 2,521 2,823 | |||
1,9455 1,9776 2,0124 | 2,238 2,451 2,717 | |||
1,9280 1,9568 1,9877 | 2,201 2,391 2,627 | |||
1,9117 1,9375 1,9654 | 2,169 2,339 2,549 | |||
1,8975 1,9210 1,9461 | 2,139 2,293 2,481 | |||
1,8854 1,9066 1,9294 | 2,113 2,252 2,422 | |||
1,8738 1,8932 1,9140 | 2,090 2,217 2,371 | |||
1,8631 1,8808 1,8998 | 2,069 2,185 2,325 | |||
1,8538 1,8701 1,8876 | 2,049 2,156 2,284 | |||
Глава 2. Практическая часть
Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании
1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации, а принять равным 0,1.
Таблица 1.2.
Курс акций фирмы IBM
t | yt | t | yt | t | yt | |
2. По данным задания № 1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а=0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.
3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка
где — период упреждения.
На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:
Рассчитать прогноз курса акций:
• на 1 день вперед (=1);
• на 2 дня вперед (=2).
Решение задания 1.5
1. Определим
Найдем значения экспоненциальной средней при а=0,1.
. а=0,1 — по условию;
; S1 = 0,1×510 + 0,9×506 = 506,4;
; S2 = 0,1×497 + 0,9×506,4 = 505,46;
; S3 = 0,1×504 + 0,9×505,46 = 505,31 и т. д.
Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.
2.
а=0,5 — по условию.
; S1 = 0,5×510 + 0,5×506 = 508;
; S2 = 0,5×497 + 0,5×508 = 502,5 и т. д.
Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.
Таблица 1.3.
Экспоненциальные средние
t | Экспоненциальная средняя | t | Экспоненциальная средняя | |||
а=0,1 | а=0,5 | а=0,1 | а=0,5 | |||
506,4 | 505,7 | 513,3 | ||||
505,5 | 502,5 | 506,1 | 511,7 | |||
505,3 | 503,2 | 506,1 | 508,8 | |||
505,8 | 506,6 | 507,0 | 511,9 | |||
506,1 | 507,8 | 508,5 | ||||
505,8 | 505,4 | 509,9 | ||||
505,2 | 502,7 | 511,6 | 523,5 | |||
504,7 | 501,4 | 512,8 | 523,2 | |||
504,2 | 500,7 | 514,3 | 525,6 | |||
503,4 | 497,8 | 515,8 | 527,3 | |||
502,4 | 495,9 | 518,0 | 532,7 | |||
502,0 | 497,5 | 520,1 | 525,8 | |||
502,0 | 499,7 | 522,2 | 538,4 | |||
502,7 | 504,4 | 524,3 | 540,7 | |||
505,0 | 514,7 | 525,9 | 540,9 | |||
Рисунок 1.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А — фактические данные; В — экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С — экспоненциальная средняя при альфа = 0,5
При а=0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т.к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.
3. Прогноз по адаптивной полиномиальной модели второго порядка формируется на последнем шаге, путем подстановки в уравнение модели последних значений коэффициентов и значения — времени упреждения.
Прогноз на 1 день вперед (= 1):
(дол.)
Прогноз на 2 дня вперед (= 2):
(дол.)
Список используемой литературы
1. Дуброва Т. А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. — М.: МЭСИ, 2003. — 52с.
2. Афанасьев В. Н., Юзбашев М. М. Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика, 2001.
3. Лукашин Ю. П. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. — М.: МЭСИ, 1997.