Исследование индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО»

Кафедра нелинейной физики КУРСОВАЯ РАБОТА Исследование индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем студента 3 курса факультета нелинейных процессов Костакова Алексея Александровича Научный руководитель ассистент ______________________ О. И. Москаленко Зав. кафедрой, профессор, д.ф.-м.н. ______________________ Ю. П. Шараевский Саратов — 2008

Введение

Синхронизация колебаний Цель работы Синхронизация, индуцированная шумом Численное моделирование Вывод Список литературы

Одна из главных тенденции в мире _ тенденция к достижению общих ритмов взаимного поведения или, другими словами, тенденция к синхронизации. Под синхронизацией обычно понимается процесс достижения связанными объектами различной природы общего ритма функционирования.

С проявлением синхронизации можно встретиться в физике, биологии, химии, технике, экономике, науках о жизни, медицине и т. д. Возможна синхронизация как двух элементов, так и в ансамблях, состоящих из сотен и тысяч элементов. В радиофизике интенсивно исследуется коллективное поведение лазеров, микроволновых генераторов, сверхпроводящих джозефсоновских контактов. В радиотехнике, радиоизмерениях и радиосвязи синхронизация используется для синтеза и стабилизации частоты генераторов, для демодуляции сигналов в доплеровских системах, в системах точного времени и т. д. В механике эффект синхронизации нашел широкое применение при конструировании различных вибро-технических устройств. В качестве примеров биологических ансамблей, в которых наблюдается синхронизация, приведем: колонии одновременно вспыхивающих светлячков; клетки, формирующие сердечный ритм; вырабатывающие инсулин клетки в поджелудочной железе; группы сверчков, щебечущих в унисон; ячейки в тонкой кишке млекопитающих; нейронные ансамбли, обеспечивающие ритмичную деятельность в мозгу и т. д. Проблемы синхронизации также очень важны при проектировании компьютеров с параллельной архитектурой. Синхронизации имеет место в химических колебаниях и волнах в реакции Белоусова-Жаботинского.

В связи с чрезвычайно широким распространением синхронизации в природе, науке и технике потребность изучения этого явления и его применений обусловила появление специального раздела в теории нелинейных колебаний и волн _ теории синхронизации.

Синхронизация колебаний

Синхронизация колебаний — одно из важнейших нелинейных явлений, привлекающих к себе широкое внимание исследователей, имеющих как теоретическое, так и практическое значение (например, в биологических и физиологических задачах, при скрытой передаче информации с помощью хаотических сигналов, при управлении системами сверхвысокочастотной электроники и т. п.).

С развитием теории динамического хаоса было выявлено достаточно различных типов хаотического синхронного поведения связанных динамических систем:

— фазовая синхронизация

— обобщенная синхронизация

— лаг-синхронизация

— перемежающаяся фазовая синхронизация

— перемежающиеся лаг-синхронизация

— перемежающаяся обобщенная синхронизация

— полная синхронизация Каждый из этих типов синхронной хаотической динамики имеет свои особенности и способы диагностики, при этом в научной литературе активно обсуждается вопрос о взаимосвязи этих типов синхронного поведения. Разные типы синхронизации связанных хаотических осцилляторов могут рассматриваться как различные виды проявления единых закономерностей, возникающих в связанных нелинейных системах.

Цель работы

Целью работы является изучение индуцированной шумом синхронизации: определение и методы ее диагностики. А также построить программу, с помощью которой можно наблюдать явление индуцированной шумом синхронизации, для двух отображений:

1. Отображение взято из работы [1], где

2. Отображение взято из работы [2], где

А также построить для этих отображений зависимость ляпуновской экспоненты от параметра связи; и сравнить пороговое значение (т.е. при котором становится отрицательным) с результатами, полученными с помощью программы. А также сравнить полученные мной данные с результатами приведенными в и.

Синхронизация, индуцированная шумом

Под режимом синхронизации, индуцированной шумом, понимается следующее: случайный сигнал, действующий на две независимые, но идентичные хаотические системы и (с разными начальными условиями и, лежащими в бассейне притяжения одного и того же хаотического аттрактора), может приводить к тому, что эти системы «синхронизуются» друг с другом, то есть после завершения переходного процесса они начинают демонстрировать идентичное поведение .

Но установление синхронной динамики двух систем с общим источником шума возможно лишь в том случае, когда все условные ляпуновские экспоненты оказываются отрицательными.

Далеко не всегда удается наблюдать синхронизацию, индуцированную шумом, в хаотических осцилляторах, поскольку хаотические системы должны обладать определенными свойствами (сильное сжатие фазового объема в фазовом пространстве, ограниченная область фазового пространства, где наблюдается увеличение фазового объема и др.)

Механизмы возникновения

Возможны два похожих механизма, приводящих к возникновению режима индуцированной шумом синхронизации:

1. Случайный сигнал имеет ненулевое среднее, что фактически переводит систему в нехаотический режим, при котором состояние системы просто `следует' за внешним случайным возмущением .

2. Внешний сигнал большой интенсивности (может быть, даже с нулевым средним значением) переводит изображающую точку в области фазового пространства с большим сжатием фазового потока, которая находится в этих областях большую долю времени, в результате чего в среднем имеет место сходимость соседних траекторий.

В обоих случаях определяющую роль играет сжатие фазового потока, при этом условные ляпуновские экспоненты имеют отрицательные значения.

Связь обобщенной синхронизации и синхронизации,

индуцированной шумом

Режим обобщенной синхронизации означает, что между состояниями взаимодействующих однонапрвленно связанных ведущего и ведомого хаотических осцилляторов (с непрерывным или дискретным временем), существует такая функциональная зависимость, что после завершения переходного процесса устанавливается функциональное соотношение .

Сам вид данной зависимости (гладкая или фрактальная) может быть достаточно сложным, а процедура ее нахождения весьма нетривиальна. Выделяют сильную и слабую обобщенную синхронизацию. Следует отметить, что в качестве взаимодействующих осцилляторов могут выступать две разные динамические системы, в том числе и с различной размерностью фазового пространства.

Очевидно, что режим обобщенной хаотической синхронизации и режим синхронизации, индуцированной шумом, несмотря на то, что традиционно считаются разными явлениями, на самом деле обусловлены проявлениями одного и того же механизма и вызваны одной и той же причиной — подавлением собственных хаотических колебаний с помощью дополнительного введения диссипации (либо с помощью ненулевого среднего значения шума в случае индуцированной шумом синхронизации, либо с помощью дополнительного диссипативного слагаемого в случае режима обобщенной синхронизации, либо смещением изображающей точки системы в области фазового пространства с сильной диссипацией).

Численное моделирование

Описание рассмотренных систем

1. Логистическое отображение под воздействием шума:

Отображение взято из работы [1], где (1)

Значение управляющего параметра , — параметр связи.

Случайная величина подчиняется нормальному распределению, где, .

Бифуркационная диаграмма для данного отображения имеет вид:

2. Одномерное отображение вида:

Отображение взято из работы [2], где (2)

Значение управляющего параметра , — параметр связи Случайная величина подчиняется нормальному распределению, где,.

Бифуркационная диаграмма для данного отображения имеет вид:

Результаты, полученные с помощью созданной программы

1. Для отображения, где при

Видно, что в случае малого параметра связи () обе системы в один момент дискретного времени принимают разные значения (точки, характеризующие состояние систем, распределены по плоскости (y, z)), а следовательно не существует функциональной зависимости между случайным процессом и состоянием динамической системы.

С увеличением параметра связи: точки соответствующие состояниям систем, лежаться на диагональ y=z, что свидетельствует о наличии синхронного поведения в системе.

3. Для отображения, где, при получаем аналогичные результаты: при синхронизации не наблюдается:

Но с увеличением параметра связи е=0.2 появляется функциональная зависимость, что свидетельствует об установлении режима индуцированной шумом синхронизации.

С помощью данной программы было найдено, что порог синхронизации индуцированной шумом:

— для первого отображения

— для второго отображения

Ляпуновские экспоненты

Как уже было упомянуто ранее, установление синхронной динамики двух систем с общим источником шума возможно лишь в том случае, когда ляпуновские экспоненты оказываются отрицательными.

Для отображений ляпуновский показатель рассчитывается по формуле:

Взято из [4],

где F (x) — функция, задающая отображение.

Для рассматриваемых систем зависимость ляпуновской экспоненты от управляющего параметра имеет вид:

1., где

2., где

Видно, что для логистического отображения (1) ляпуновская экспонента становится отрицательной при e = 1.165, для отображения (2) — при e = 1.151.Таким образом, результаты, полученные при помощи обоих методов диагностики, оказываются приблизительно одинаковыми.

Выводы

Было изучено явление индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем. Для диагностики синхронного режима производилось непосредственное сравнение векторов состояния идентичных систем, на которые воздействовал один и тот же источник шума, а также производился расчет условных ляпуновских экспонент. Рассмотрена взаимосвязь индуцированной шумом синхронизации с обобщенной синхронизацией. Была создана программа, иллюстрирующая явление индуцированной шумом синхронизации. С помощью этой программы рассмотрены два отображения. Также для этих отображений получены зависимости ляпуновской экспоненты от управляющего параметра. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами работ [1−3].

1. А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов «О механизмах, приводящих к установлению режима обощенной синхронизации», ЖТФ, 76, 2 (2006) 1−9.

2. Raul Toral, Claudio R. Mirasso, E. Hernandez-Garcia and Oreste Piro «Analytical and Numerical Studies of Noise-induced Synchronization of Chaotic Systems», CHAOS, 11, 3 (2001) 665−673.

3. A.E. Hramov, A.A. Koronovskii, O.I. Moskalenko «Are generalized synchronization a noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of chaotic oscillators», Phys. Lett. A, 354, 5−6 (2006) 423−427.

4. С. П. Кузнецов Динамический хаос

5. Amos Martian, Jayanth R. Banavar «Chaos, Noise, and Synchronization», Phys. Rev. letters, volume 72, number 10 (1994) 1451−1454