Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

АННОТАЦИЯ

Исследуется движение механической системы с одной степенью свободы, на которую действуют момент сопротивления M_c = -мщ и возбуждающая гармоническая сила F (t). Трением качения и скольжения следует пренебречь. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Требуется, используя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей.

СХЕМА МЕХАНИЗМА И ДАННЫЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Рис. 1 — Схема механизма Дано:

m₁ = 4 кг

m₂ = 3 кгr₂ = 0.2 мi₂ = 0.3 м

m₃ = 5 кгr₃ = 0.1 мR₃ = 0.2 мi₃ = 0.1 м

m₄ = 1 кг r₄ = 0.15 мR₄ = 0.2 ммасса цилиндра распределена по ободу радиуса R

м = 0.75 Н· м·сc = 2000 Н/мF₀ = 30 Нp = 3р = 9.425 рад/с

= 0 = 0.1 м/сF (t) = F₀· sin (pt)

ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Изобразим расчётную схему (рис. 2)

Рис. 2 — Расчетная схема На рис. 2 обозначено:

, — силы тяжести;

— нормальная реакция опорной плоскости;

— упругая реакция пружины;

— сила сцепления;

 — реакции подшипника блока 3;

=-мщ — сила вязкого сопротивления;

— возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. Будем определять положение системы с помощью координаты S. Начало отсчета координат совместим с положением статического равновесия груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

(1.1)

где обозначено:

T — кинетическая энергия системы,

N^e — сумма мощностей внешних сил,

Nⁱ — сумма мощностей внутренних сил.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему.

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

(1.2)

Катки 2 и 4 совершают плоскопараллельное движение, поэтому их кинетическая энергия равна:

(1.3)

где — момент инерции катка 2.

(1.4)

где — момент инерции катка 4.

Блок 3 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия определяется по формуле:

(1.5)

где — момент инерции блока 3.

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

(1.6)

Так как система имеет одну степень свободы и в качестве координаты, определяющей ее положение, ранее принято перемещение груза 1, то кинематические характеристики всех тел механизма легко выражаются через кинематические параметры груза 1 соотношениями:

, ,, (1.7)

Подставляя (1.2), (1.3), (1.4), (1.5) в (1.6) с учетом (1.7), окончательно получаем:

(1.8)

(1.9)

называется приведенной массой.

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) — сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки приложения силы, а мощность момента силы — алгебраическому произведению момента силы на угловую скорость вращения тела, к которому приложен момент:

.

Знак «+» берется в том случае, если направления момента и угловой скорости одинаковы, а знак «-» если их направления противоположны.

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т. е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому мощности внутренних сил будут равняться нулю .

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы, ,, ,, .

Сумма мощностей остальных сил равна:

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

(1.10)

(1.11)

называется приведенной силой.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины равно сумме статического и динамического удлинений Тогда упругая сила будет равна:

Момент вязкого сопротивления. Тогда приведенная сила (1.11) в развернутой форме будет определяться выражением:

(1.12)

В состоянии покоя и условием равновесия системы будет служить уравнение

(1.13)

Из уравнения (1.13) определяется статическое удлинение пружины

(1.14)

Таким образом, окончательное выражение для приведенной силы (1.12) будет иметь вид:

(1.15)

Подставим выражения для кинетической энергии (1.8) и сумму мощностей всех сил (1.10) с учетом (1.15) в уравнение (1.1). Тогда, после дифференцирования, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

Общепринято такие уравнения представлять в виде:

(1.16)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

— частота собственных колебаний,

— показатель степени затухания колебаний.

Начальные условия:

при (1.17)

Уравнения (1.16), (1.17) представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

где — амплитуда возмущающей силы,

— циклическая частота возмущения.

Дифференциальное уравнение движения механической системы (1.16) с учетом выражения для возмущающей силы примет вид:

(2.1)

где

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.1) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (2.1), имеет вид:

(2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

(2.3)

где и — неопределенные постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получим:

Так как мы ищем нетривиальное решение, то. Следовательно, должно выполняться условие

(2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:

(2.5)

где, .

В этом случае () общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

Данное выражение нетрудно представить в виде

(2.6)

где — постоянные интегрирования.

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения (2.1). Частное решение ищем в виде правой части

(2.7)

где ,

Подставляя (2.7) в (2.1), после несложных преобразований получим

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных и :

.

Решая эту систему алгебраических уравнений, получаем выражения для коэффициентов, и, :

;

; .

Таким образом, решение (2.7) найдено. Складывая (2 7) и (2.6), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.1)

(2.8)

Константы и определяются из начальных условий (1.17). Для этого найдем производную по времени от (2.8)

(2.9)

Подчинив (2.8) и (2.9) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант

.

Решая эту систему, получаем:

И, подставляя (2.10) в (2.8), получаем закон движения механизма, выраженный через перемещение груза.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СВЯЗЕЙ

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и рисуем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).

Рис. 3 — Расчетные схемы каждого тела механизма К каждому телу, изображенному на расчетной схеме (рис. 3), применяем две из основных теорем механики материальной системы: теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетического момента

(3.1)

(3.2)

Для каждого тела уравнения (3.1) и (3.2) записываем в проекциях на оси координат соответственно схемам рис. 3:

Тело 1:.(3.3)

Тело 2,

.

Тело 3,

(3.5)

.

Тело 4,

(3.6)

С учетом кинематических соотношений (1.6) систему уравнений (3.3) — (3.6) преобразуем к виду:

.

Уравнения (3.7) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций, ,, ,, ,, .

СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА ДАЛAМБЕРА-ЛАГРАНЖА

Рис. 4 — Расчетная схема

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа дифференциальный уравнение кинетический энергия

(4.1)

Здесь — сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы; - сумма элементарных работ всех сил инерции па возможном перемещении системы. Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис. 4).

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

(4.2)

Сумма элементарных работ указанных сил вычисляется, как и мощность по формуле (1.10)

(4.3)

Найдем возможную работу сил инерции:

(4.4)

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:

,

,(4.5)

Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать

,

,

,(4.6)

,

.

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

(4.7)

(4.8)

где .

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее (1.9). Подставляя выражения (4.3) и (4.8) в общее уравнение динамики (4.1) получим

(4.9)

Разделив (4.9) на, получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

(4.10)

где, , .

Дифференциальное уравнение (4.10) полностью совпадает с уравнением (1.16) полученным ранее.

СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА

Составим теперь уравнение Лагранжа 2-го рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 —. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

(5.1)

где — кинетическая энергия системы; - обобщенная сила; - обобщенная координата.

Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.8):

.(5.2)

Для определения обобщенной силы сообщим системе возможное перемещение, при котором координата получит приращение, и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении.

Такая сумма работ ранее вычислялась (4.З):

В тоже время известно, что

(5.3)

Из (5.3) получаем выражение для обобщенной силы:

(5.4)

Подставляя кинетическую энергию (5.2) и обобщенную силу (5.4) в уравнение Лагранжа, получаем или где .

ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЙ

1. Исходные данные: m_1, m_2, r_2, i_2, m_3, r_3, R_3, m_4, м, c, F_0, p,, .

2. Вычисление констант

.

3. Задаем начальное время t = 0.

4. Вычисление искомых функций

.

5. Вычисление реакций связей

.

6. Определение значения времени на следующем шаге .

7. Возврат к пункту 4, пока .

8. Отображение результатов вычисления на графиках.

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Рис. 5

Рис. 6

РЕЗУЛЬТАТЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Рис. 7

Рис. 8

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОПТИМИЗАЦИИ

В результате решения полученного дифференциального уравнения движения механической системы на ЭВМ были определены закон движения первого груза, его скорость и ускорение как функции времени t. На основании этих результатов по разработанному алгоритму легко вычисляются значения реакций связей механической системы в зависимости от времени t. Так как значения параметров системы выбирались случайным образом, то получили, что в некоторые моменты времени натяжение нитей становятся отрицательными и, следовательно, математическая модель не соответствует реальному поведению механической системы. Чтобы устранить эту ситуацию, увеличили массу 1 груза до 8 кг и, тем самым, обеспечили положительные значения натяжения нитей на всем протяжении работы механической системы.

Результаты расчетов скорректированной механической системы представлены в виде распечатки на ЭВМ и графиков, иллюстрирующих изменение интересующих параметров в зависимости от времени.