Моделирование полной группы несовместных событий

Элемент системы (или система в целом) может находиться во многих (больше двух) несовместных состояниях. Известны вероятности нахождения системы в этих состояниях. Например, вооружение может находиться:

• • в боеготовом состоянии с вероятностью Р,;
• • в неисправном состоянии и ремонтироваться:
• • силами своего расчета, вероятность этого состояния Р₂;
• • в мастерской части, вероятность Р₃;
• • на заводе, вероятность Р₄.

Очевидно, что Р₁ + Р₂ + Р₃ + Р₄ = 1.

Такие и аналогичные события называются полной группой несовместных событий.

Алгоритм моделирования основан на следующей теореме.

Теорема 3.4. В полной группе несовместных событий моделью свершения события А_т, происходящего с вероятностью Р_т, является попадание значения х₍ е у ~ Rav (0; 1) в отрезок, равный Р_т, числовой шкалы

П

Y, Р_т =1, где п — число несовместных событий (рис. 3.15).

Ш=1.

Рис. 3.15. Событие А_т произошло.

Доказательство. Введем численные обозначения концов отрезков Р_т по нарастанию:

В этом случае согласно теореме условием свершения события А_т является попадание случайного числа х₍ в интервал.

Следовательно,.

Такой способ моделирования полной группы несовместных событий обычно называют определением исходов по жребию (т.е. моделью полной группы несовместных событий является эксперимент с т исходами).

Отметим, что последовательность точек 1_Ь 1₂, …, 1_Г в данном случае есть не что иное, как последовательность значений выборочной функции распределения.

Алгоритм, реализующий способ определения исходов по жребию, может быть построен тремя вариантами, представленными на рис. 3.16.

Рис. 3.16. Варианты алгоритма определения исходов по жребию.

Первый вариант (рис. 3.16, а) применяется тогда, когда число возможных исходов невелико и не равно степени по основанию два.

На рис. 3.16, б алгоритм построен по способу половинных сечений для четырех исходов.

Третий вариант алгоритма (рис. 3.16, в) в цикле определяет исход (событие), номер которого присваивается переменной к. Далее этот номер используется для организации нужной работы алгоритма. Этот вариант наиболее часто используется при построении алгоритмов имитационных моделей.

Пример 3.8.

Канал передачи данных может находиться в одном из четырех несовместных состояний:

• • Aj — исправен и свободен, Pj = 0,15;
• • А₂ — исправен и занят, Р₂ = 0,4;
• • А₃ — неисправен, Р₃ = 0,25;
• • Л₄ — подавлен помехами, Р₄ = 0,2.

Решение

Представим необходимые для определения исходов по жребию данные в табл. 3.3.

Данные для определения исходов по жребию

Таблица 3.3

Предположим, что при выполнении i-й реализации датчик равномерно распределенных случайных чисел у ~ Rav (0; 1) сгенерировал х = 0,525. Путем последовательных сравнений определяется, что 1_г < 0,525 < 1₂. Значит, в данной реализации канал находится в состоянии Л₂ — исправен и занят.

Пример 3.9.

По каналу передачи данных (КПД) передаются сообщения трех видов S_1; S₂, S₃. Вероятности поступления сообщений соответствующих видов показаны в табл. 3.4.

Вероятности поступления сообщений

Таблица 3.4

КПД может находиться в одном из четырех несовместных состояний А_г, А₂, А₃, А₄ (Aj — исправен и свободен, А₂ — исправен и занят, А₃ — неисправен, А₄ — подавлен помехами) с вероятностями, показанными в табл. 3.5.

Вероятности нахождения в соответствующем состоянии

Построить алгоритм ИМ оценки вероятности передачи сообщений третьего вида S₃ при поступлении на КПД сообщений всех видов.

Решение

На КПД поступают сообщения трех видов. Поступление сообщения — это событие. Данная группа сообщений — это группа несовместных событий. Полная группа несовместных событий моделируется определением исходов по жребию.

Предварительно нужно по данным табл. 3.4 построить числовую шкалу 1_к

з вероятностей? Д =1 (табл. 3.6). Свершением события — поступлением сооб;

i=i.

щения S, будет попадание числа, полученного отдатчиках,? у — Rav (0,1) равномерно распределенных случайных чисел в отрезок числовой шкалы, равный Р,.

Таблица 3.6

Построение числовой шкалы вероятностей событий

Состояния КПД по условиям постановки задачи — полная группа несовместных событий. Для моделирования состояний КПД предварительно также нужно построить числовую шкалу q_m вероятностей (табл. 3.7) по данным табл. 3.5.

Построение числовой шкалы вероятностей состояний

Таблица 3.7

Сообщения по КПД не будут передаваться при состояниях А₃, А₄.

Для работы ИМ необходимо ввести:

• • данные числовой шкалы /, массивом L = {0,24; 0,6; 1,0};
• • данные числовой шкалы q, массивом Q = {0,4; 0,55; 0,8; 1,0};
• •N0 — количество прогонов модели;
• • S0 — количество всего поступающих сообщений всех трех видов.

Для проведения промежуточных расчетов и вывода результатов моделирования потребуются следующие переменные:

• • N — счетчик текущего числа прогонов модели;
• • S — счетчик текущего числа поступивших сообщений всех видов;
• • х — число — результат обращения к датчику равномерно распределенных случайных чисел (ДРРСЧ) при определении вида поступившего сообщения;
• • у — число — результат обращения к ДРРСЧ при определении состояния КПД;
• • z — номер вида поступившего на КПД сообщения;
• • h — номер состояния КПД;
• • S3 — количество переданных сообщений третьего вида во всех прогонах модели;
• • РЗ — вероятность передачи сообщений третьего вида.

Вероятность передачи сообщений третьего вида РЗ можно определять двумя способами:

• 1) количество переданных сообщений третьего вида S3 во всех прогонах модели разделить на число поступивших сообщений третьего вида на канал передачи данных во всех прогонах модели;
• 2) число переданных сообщений третьего вида S3 во всех прогонах модели разделить на число поступивших сообщений всех трех видов во всех прогонах модели: РЗ =S3/(S0 • ЛГО).

В первом случае мы определим вероятность передачи сообщений третьего вида из числа поступивших сообщений этого вида. Во втором случае — вероятность передачи сообщений третьего вида из числа поступивших сообщений всех видов. Здесь не нужно будет считать количество поступивших на канал передачи данных сообщений третьего вида во всех прогонах модели. Воспользуемся вторым способом.

Условием завершения одного прогона модели является выполнение равенства S = SO, т. е. равенства текущего числа поступивших на КПД сообщений заданному их числу.

Алгоритм ИМ приведен на рис. 3.17.

Блок 1 предназначен для ввода исходных данных.

Блоки 2—18 предназначены для моделирования непосредственно передачи сообщений в зависимости от их вида и состояния КПД.

Блоки А—8 предназначены для определения (розыгрыша) вида поступившего сообщения по алгоритму, представленному на рис. 3.16, в. Розыгрыш производится с использованием данных числовой шкалы 1₍. Код вида сообщения заносится в переменную z (блок 8).

Блоки 9—13 предназначены для определения (розыгрыша) состояния КПД также по алгоритму, приведенному на рис. 3.16, в. Розыгрыш производится с использованием данных числовой шкалы qj. Код состояния заносится в переменную h (блок 13).

В блоке 14 проверяется состояние КПД. Если он исправен и не занят, т. е. код h = 1, то в следующем блоке 15 проверяется вид сообщения. Если г = 3, то сообщение третьего вида передается по КПД, что фиксируется в блоке 16, т. е. S3 увеличивается на единицу. Сообщения других видов не распознаются и не считаются, хотя при необходимости реализовать их распознавание и счет можно аналогично.

В блоке 17 проверяется, всели SO сообщений поступили. Если нет, то условие S = SO не выполняется и имитация передачи очередного сообщения начиная с блока 3 повторяется.

При выполнении условия S = SO в блоке 18 проверяется условие N = N0. Если оно не выполняется, то начиная с блока 2 выполняется очередной прогон модели.

Рис. 3.17. Алгоритм имитационной модели передачи сообщений.

Если условие N = N0 выполняется, значит, выполнилось заданное N0 число прогонов модели.

В блоке 19 рассчитывается искомая вероятность, а в блоке 20 она выводится на носитель.