Определители. 
Правило Крамера

Определителем второго порядка называется число, которое вычисляется из таблицы (называемой матрицей, состоящей из четырех чисел, расположенных в двух строках и двух столбцах), по следующему правилу:

Например,.

Обратим внимание на то, что в выражении определителя сомножителями в каждом из произведений служат числа, стоящие в разных строках и в разных столбцах.

Применим определители второго порядка для решения системы линейных уравнений общего вида. Имеем:

(Д — греческая буква дельта). Полученные выше формулы принимают следующий вид:

Существенно, что главный определитель А должен быть отличен от нуля: А * 0.

Эти формулы называются «правилом Крамера» для решения системы линейных уравнений.

Пример 2.7.

Применяя правило Крамера, решим систему линейных уравнений:

Вычислим определители:

По правилу Крамера, получаем:

В курсе линейной алгебры наряду с определителями второго порядка рассматриваются определители третьего и более высоких порядков. Не вникая в подробности, покажем, как раскрывается определитель третьего порядка:

Обратим внимание, что в каждое произведение, состоящее из трех сомножителей, входят числа из разных строк и разных столбцов.

Определители третьего порядка применяются к системам трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

В этом случае (при, А Ф 0) правило Крамера выражается следующими формулами:

Определители в числителях получаются из главного определителя, А заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов, например:

Определители обладают рядом замечательных свойств (они приводятся в учебниках по линейной алгебре). Например: определитель не изменится, если из любой его строки вычесть почленно другую строку, умноженную на произвольное число. Это свойство применяется для вычисления определителей методом элементарных преобразований (аналогично методу Гаусса для решения систем линейных уравнений).

В заключение отметим, что изложенная в этой главе теория находит самые разнообразные применения в математике и ее многочисленных приложениях. В следующей главе она применяется в аналитической геометрии.