Числовые характеристики случайных величин

Выше мы познакомились с законами распределения случайных величин. Каждый закон распределения исчерпывающим образом описывает свойства вероятностей случайной величины и дает возможность вычислять вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако во многих вопросах практики нет надобности в таком полном описании и зачастую достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения. Например, среднее, вокруг которого разбросаны значения случайной величины, какое-то число, характеризующее величину этого разброса. Эти числа призваны выразить в сжатой форме наиболее существенные черты распределения, и называются числовыми характеристиками случайной величины.

Среди числовых характеристик случайных величин прежде всего рассматривают характеристики, фиксирующие положение случайной величины на числовой оси, т. е. некоторое среднее значение случайной величины, около которого группируются ее возможные значения. Из характеристик положения в теории вероятностей наибольшую роль играет математическое ожидание, которое иногда просто называют средним значением случайной величины.

Предположим, что дискретная СВ ?, принимает значения х_{, х₂,…, х_п с вероятностями рj, р₂,…_у Ptv т. е. задана рядом распределения.

Далее, пусть мы провели N независимых опытов, в каждом из которых наблюдали значения СВ Возможно, что в этих опытах значение х_х наблюдалось N_{ раз, значение х₂ — N₂ раз,…, значение х_п — N_n раз. При этом + N₂ +… + N_n=N.

Среднее арифметическое результатов наблюдений.

Если N велико, т. е. N —" оо, то

Итак, выражение естественно считать числовой характеристикой, описывающей центр распределения. Полученное таким образом среднее значение случайной величины назовем математическим ожиданием. Дадим словесную формулировку определения.

Определение 3.8. Математическим ожиданием (МО) дискретной СВ % называется число, равное сумме произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений (обозначение М;):

Теперь рассмотрим случай, когда число возможных значений дискретной СВ ?, счетно, т. е. имеем РР.

Формула для математического ожидания остается той же, только в верхнем пределе суммы п заменяется на оо, т. е.

В этом случае мы получаем уже ряд, который может и расходиться, т. е. соответствующая СВ ^ может и не иметь математического ожидания.

Пример 3.8. СВ ?, задана рядом распределения

Найдем МО этой СВ.

Решение. По определению. т. е. Mt, не существует.

Таким образом, в случае счетного числа значений СВ получаем следующее определение.

Определение 3.9. Математическим ожиданием, или средним значением, дискретной СВ, имеющей счетное число значений, называется число, равное сумме ряда произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности, при условии что этот ряд сходится абсолютно, т. е.

Если этот ряд расходится или сходится условно, то говорят, что СВ ^ не имеет математического ожидания.

Перейдем от дискретной СВ к непрерывной с плотностью р (х).

Определение 3.10. Математическим ожиданием, или средним значением, непрерывной СВ называется число, равное.

при условии что этот интеграл сходится абсолютно.

Если этот интеграл расходится или сходится условно, то говорят, что непрерывная СВ ?, не имеет математического ожидания.

Замечание 3.8. Если все возможные значения случайной величины J;

принадлежат только интервалу (а; Ь), то

Математическое ожидание — не единственная характеристика положения, применяемая в теории вероятностей. Иногда применяются такие, например, как мода и медиана.

Определение 3.11. Модой СВ ^ (обозначение Mot,) называется ее наиболее вероятное значение, т. е. то, для которого вероятность p_i или плотность вероятности р (х) достигает наибольшего значения.

Определение 3.12. Медианой СВ ?, (обозначение Met} называется такое ее значение, для которого P{t> < Met} = Р{? > Met} = ½.

Геометрически для непрерывной СВ медиана — это абсцисса той точки оси Ох, для которой площади, лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны ½.

Пример 3.9. СВ t, имеет ряд распределения

Найдем математическое ожидание, моду и медиану СВ.

Решение. МЪ, = 0−0,1 + 1 • 0,3 + 2 • 0,5 + 3 • 0,1 = 1,6. Л/о? = 2. Ме (?) не существует.

Пример 3.10. Непрерывная СВ % имеет плотность.

Найдем математическое ожидание, медиану и моду.

Решение.

р (х) достигает максимума, то Очевидно, медиана также равна так как площади по правую и левую стороны от линии, проходящей через точку равны.

Кроме характеристик положения в теории вероятностей употребляют еще ряд числовых характеристик различного назначения. Среди них особое значение имеют моменты — начальные и центральные.

Определение 3.13. Начальным моментом k-го порядка СВ ?, называется математическое ожидание k-й степени этой величины: =M (t_>^k).

Из определений математического ожидания для дискретной и непрерывной случайных величин следует, что.

Замечание 3.9. Очевидно, начальный момент 1-го порядка — это математическое ожидание.

Перед тем как дать определение центрального момента, введем новое понятие центрированной случайной величины.

Определение 3.14. Центрированной СВ называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания, т. е.

Нетрудно убедиться, что.

Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала отсчета в точку М;. Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами.

Определение 3.15. Центральным моментом k-го порядка СВ % называется математическое ожидание k-й степени центрированной случайной величины:

Из определения математического ожидания следует, что.

Очевидно, для любой случайной величины ^ центральный момент 1-го порядка равен нулю: с_х = М (?₀) = 0.

Особое значение для практики имеет второй центральный момент с₂. Он называется дисперсией.

Определение 3.16. Дисперсией СВ ?, называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины (обозначение D?)

Для вычисления дисперсии можно получить следующие формулы непосредственно из определения:

Преобразуя формулу (3.4), можно получить следующую формулу для вычисления DL;.

Дисперсия СВ есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому для наглядности в качестве характеристики рассеивания удобно пользоваться числом, размерность которого совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением случайной величины. Будем обозначать его а: а = л/щ.

Для неотрицательной СВ ?, в качестве характеристики иногда применяется коэффициент вариации, равный отношению среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Зная математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины можно составить себе приближенное представление о диапазоне ее возможных значений. Во многих случаях можно считать, что значения случайной величины % только изредка выходят за пределы интервала М; ± За. Это правило для нормального распределения, которое мы обоснуем в дальнейшем, носит название правило трех сигм.

Математическое ожидание и дисперсия — чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Из определения математического ожидания и дисперсии следуют некоторые простейшие и достаточно очевидные свойства этих числовых характеристик.

Простейшие свойства математического ожидания и дисперсии.

1. Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине с: М© = с.

Действительно, так как величина с принимает только одно значение с вероятностью 1, то М© = с • 1 = с.

2. Дисперсия неслучайной величины с равна нулю, т. е. D© = 0.

Действительно, Dc = М (с — Мс)² = М (с — с)² = М (0) = 0.

3. Неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М (с^) = с • М (?,).

Покажем справедливость этого свойства на примере дискретной СВ.

Пусть СВ задана рядом распределения.

Тогда

Следовательно,.

Аналогично доказывается свойство и для непрерывной случайной величины.

4. Неслучайный множитель можно выносить за знак дисперсии в квадрате:

Чем больше моментов случайной величины известны, тем более детальное представление о законе распределения мы имеем.

В теории вероятностей и ее приложениях используют еще две числовые характеристики случайной величины, основанные на центральных моментах 3-го и 4-го порядков, — коэффициент асимметрии [3 и эксцесс у. Моменты более высокого порядка на практике обычно не используются. Коэффициент асимметрии и эксцесс дают представление о форме плотности распределения или многоугольника распределения. Эти характеристики являются безразмерными величинами. Они не зависят от масштаба измерения случайной величины.

Определение 3.17. Коэффициентом асимметрии СВ называется число р = р (^), равное отношению третьего центрального момента к кубу среднего квадратического отклонения случайной величины:

Коэффициент асимметрии случайной величины, закон распределения которой симметричен относительно математического ожидания, равен нулю, поскольку в этом случае с*₃ = 0. Если распределение вероятностей несимметрично, причем «длинная часть» распределения расположена справа от центра группирования (математического ожидания), то р > 0; если слева, то р < 0.

В качестве характеристики большей или меньшей степени «сглаженности» плотности по сравнению с нормальной плотностью используют понятие эксцесса.

Определение 3.18. Эксцессом СВ? называется число у = у (?,), равное.

Для нормального закона распределения, который будет рассмотрено ниже, у = 0. Если плотность распределения случайной величины? более «островершинна», чем плотность нормально распределенной случайной величины с той же дисперсией, то у > 0, а если менее «островершинна» и более сглажена, то у < 0.

Пример 3.11. Из партии в 25 изделий, среди которых 6 бракованных, выбраны случайным образом 4 изделия для проверки их качества. Построим ряд распределения и функцию распределения числа бракованных изделий, содержащихся в выборке. Найдем вероятность того, что число бракованных изделий в выборке будет не меньше одного, но не больше трех. Найдем среднее число и дисперсию числа бракованных изделий.

Решение. Обозначим через? число бракованных изделий в выборке. Очевидно, % может принимать значения 0, 1,2, 3, 4, т. е. СВ ?, является дискретной. Чтобы построить ряд распределения, нужно найти Р{Ъ, = k}, к = 0, 1,2, 3, 4. Поскольку выбирается 4 изделия из 25, среди которых 6 бракованных, то.

Для различных к получаем:

По свойствам ряда распределения сумма найденных вероятностей должна быть.

равна 1.

Действительно: р^ + р₂ + + р₄ + р₅ = 0,31 + 0,459 + 0,2 + 0,03 + 0,001 = 1.

Таким образом, ряд распределения СВ ?, имеет вид

Найдем теперь функцию распределения, принимая во внимание, что Р^(х) = = Р{^<�х). Поскольку ФР зависит от х, то для се нахождения будем рассматриватьх с учетом значений, которые принимает данная СВ Если х < 0, то 7^(х) = 0. Действительно, значений, меньших нуля, СВ ?, не принимает. Следовательно, при х<0 F^(x) = Р{?, <�х) = 0.

Если 0 < х < 2, то F^(x) = 0,31, так как в этом случае? может принять значение 0 с вероятностью 0,31.

Если 1 < х < 2, то Ff (x) = 0,31 + 0,459 = 0,769, так как СВ ?, может принять значение 0 с вероятностью 0,31 или значение 1 с вероятностью 0,459.

Аналогично если 2 < х < 3, то F^(x) = 0,31 + 0,459 + 0,2 = 0,969.

Если 3 < х < 4, то F^(x) = 0,999.

И, наконец, если х > 4, то F^(x) = 1, гак как все значения СВ ?, меньше х, т. е. событие Р{% < х) в этом случае является достоверным. Таким образом, искомая ФР имеет вид.

Найдем вероятность того, что число бракованных изделий в выборке будет не меньше одного, но не больше трех, т. е. Р{1 < ?, < 3}. Для этого воспользуемся формулой Р{а <^ найденными рядом распределения и ФР СВ Ъ;.

Используя формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии дискретной СВ, получим:

Пример 3.12. Случайная величина ^ задана функцией распределения.

Найдем: а) плотность вероятности р (х); б) вероятность попадания СВ ^ в интервал (2,5; 3,5); в) математическое ожидание и дисперсию СВ.

Решение, а) СВ ?, непрерывна и для нее р (х) = F'(x). Следовательно,.

б) Вероятность попадания СВ % в интервал (2,5; 3,5) можно найти, используя свойства ФР или свойства плотности, т. е.

или.

в) Найдем математическое ожидание и дисперсию, используя формулы для их вычисления в случае непрерывной СВ:

Пример 3.13. Случайная величина Ь, имеет плотность распределения.

Найдем: а) коэффициент а; б) функцию распределения СВ С в) вероятность того, что в результате испытания СВ Е, примет значение, заключенное в интервале (0; л).

Решение, а) Коэффициент а найдем из условия В нашем случае.

б) Найдем теперь функцию распределения, учитывая, что

Таким образом,

в) Найдем вероятность того, что СВ 2, примет значение, заключенное в интервале (0; л):