Табличные интегралы. 
Математика

По таблице производных (см. гл. 7) составим таблицу интегралов некоторых элементарных функций. Каждая из этих новых формул легко проверяется дифференцированием.

Замечание к п. 4. При х<0 имеем ln|x|=ln (-x). Дифференцируя эту функцию как сложную, получаем:

Правила интегрирования

Многие интегралы сводятся к табличным интегралам после удачно выбранных тождественных преобразований подинтегральных функций и последующего применения нижеприводимых простых правил интегрирования.

Правило 8.1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Правило 8.2. Неопределенный интеграл от суммы (или разности) двух функций равен сумме (или разности) интегралов от каждой функции в отдельности:

Оба эти правила легко проверяются дифференцированием.

Приведем примеры.

Пример 8.4.

Пример 8.5.

Пример 8.6.

Пример 8.7.

Пример 8.8.

Пример 8.9.

Методы интегрирования

Рассмотрим два сильнодействующих метода интегрирования, которые еще более расширят рамки наших возможностей.

1. Метод интегрирования по частям является интегральным аналогом правила дифференцирования произведения двух функций. Для применения этого метода необходимо подинтегральное выражение f (x)dx представить в виде произведения некоторой функции и = и (х) на дифференциал dv другой функции, вначале неизвестной:

Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям

(которая проверяется дифференцированием левой и правой частей).

Для того чтобы практически применить эту формулу, нужно по функции и найти ее дифференциал du, а по дифференциалу do найти (интегрированием) функцию о. Не давая сразу окончательного ответа, этот метод позволяет свести данный интеграл (в левой части равенства) к более простому интегралу (в правой части).

Приведем примеры.

Пример 8.10.

Покажем, как интегрированием по частям находится интеграл.

Полагаем:

так что.

du = d. x, v = sin х.

Далее по указанной формуле находим.

Таким образом, применяемый метод позволяет свести интегрирование непростой функции xcosx к табличному интегралу от функции sin.г. По пути нам пришлось по выражению dv = cosxdx определить функцию c = sinx (так что фактически при интегрировании по частям один сложный интеграл заменяется на два простых). Заметим, что другие представления данного подинтегрального выражения в виде произведения (например, и = соях, dv = xdx) были бы неудачными, поскольку не привели бы к более простым интегралам.

В следующих примерах, преобразовывая данные интегралы, мы каждый раз указываем, как выбраны и и do и чему при этом равны du и о.

Пример 8.11

Пример 8.12.

Пример 8.13.

Пример 8.14.

Разрешая полученное соотношение как уравнение, в котором в роли неизвестного выступает искомый интеграл, находим:

2. Метод замены переменных является интегральным аналогом правила дифференцирования сложной функции. Он состоит в том, что подстановкой х = ср (?) или t = vjf (x) данный интеграл сводят к более простому.

Проиллюстрируем сказанное на примерах.

Пример 8.15.

1. Интеграл подстановкой сводится к табличному:

Замечание. Сравнивая этот метод с тем, который мы применили для нахождения того же самого интеграла ранее (пример 8.7), убеждаемся в преимуществе метода замены переменных, ибо он позволяет с одинаковой легкостью найти интеграл любой функции вида (2х -3)" независимо от значения показателя п. Попутно заметим, что полезно сопоставлять ответы, получаемые в одной и той же задаче при решении ее разными способами!

Пример 8.16.

Замечание. Этот подход также интересно сопоставить с тем, который был применен к данному интегралу ранее {метод интегрирования по частям, пример 8.14). Такого рода анализ разных подходов к одной и той же задаче всегда углубляет наше понимание проблемы и ее решения и способствует более глубокому усвоению математики.

Пример 8.17.

Обратим внимание на то, что простота вычисления этого интеграла методом замены переменных обусловлена тем, что в результате сделанной подстановки в числителе оказалась производная знаменателя. Интегралы такого рода всегда приводят к натуральному логарифму модуля функции, стоящей в знаменателе. Общая формула, выражающая это важное свойство, имеет следующий вид.

Приведем еще один пример на эту гему.

Пример 8.18.

В заключение этого раздела рассмотрим более сложный пример, в котором комбинируются оба метода.

Пример 8.19.

Интеграл

вначале преобразуем, интегрируя, но частям. Имеем:

Далее в новом интеграле — в правой части — сделаем подстановку:

приводящую его к табличному интегралу:

В итоге получаем:

Другой подход к данному интегралу состоит в том, что сначала он преобразуется с помощью подстановки:

Обратим внимание на то, что полученный интеграл лишь обозначением переменной отличается от интеграла, найденного нами ранее (пример 8.10); поэтому мы вправе записать:

Теперь для получения окончательного результата остается вернуться к первоначальной переменной, т. е. выразить t через х.

Как видим, в отличие от дифференцирования, интегрирование функций является задачей более содержательной и творческой, а потому и более трудной («Ломать — не строить!»). Поле деятельности здесь неизмеримо обширнее. Отсутствие изначальной четкой определенности в действиях, присущей нахождению производной, при интегрировании порождает естественные трудности, которые могут возникнуть уже при выборе метода; искусство интегрирования требует навыков, не лишней может оказаться и некоторая изобретательность. Для успеха необходимы не только познания, но и развивающий вкус и воображение собственный опыт, приобретаемый лишь большим числом самостоятельно вычисленных интегралов.