Энергия стационарного магнитного поля
Преобразовав интегралы в полученном выражении с помощью теоремы Стокса, перепишем его в виде. Где — магнитный поток через поверхность, опирающуюся на контур. Подставляя (33) в (32), получаем. Где — поток, сцепленный с контуром, который обусловлен током контура. Где — магнитный поток, сцепленный с контуром, а — ток в контуре. В случае контуров выражение для записывается следующим образом… Читать ещё >
Энергия стационарного магнитного поля (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Общее выражение для энергии магнитного поля, сосредоточенной в некотором объеме , остается справедливым и в случае стационарных процессов:
(28).
Формулу (28) можно преобразовать таким образом, чтобы магнитная энергия была выражена через токи, создающие магнитное поле. Для этого заменим в (28) вектор его представлением через векторный потенциал. Используя тождество, получаем.
(29).
Первый интеграл в уравнении (29) преобразуем в поверхностный интеграл, используя теорему Остроградского-Гаусса, а во втором интеграле выразим через плотность токов с помощью равенства. Тогда соотношение (29) примет вид.
(30).
где — поверхность, ограничивающая объем .
Выберем в качестве поверхности сферу радиуса и устремим к бесконечности, т. е. распространим интегрирование в (30) на все пространство.
Любая пространственно ограниченная система токов создает магнитное поле, напряженность и векторный потенциал которого при убывают пропорционально и соответственно (или еще быстрее). При этом поверхность возрастает пропорционально. Следовательно, в пределе при первый интеграл в правой части уравнения (4.29) будет равен нулю. В результате получим.
(31).
В случае линейных токов выражение для энергии магнитного поля упрощается. Рассмотрим вначале уединенный контур с током. Формула (31) для этого контура принимает вид.
(32).
Применим к интегралу в (32) теорему Стокса:
где — магнитный поток через поверхность, опирающуюся на контур. Подставляя (33) в (32), получаем.
(34).
В случае контуров выражение для записывается следующим образом:
(35).
где — магнитный поток, сцепленный с контуром, а — ток в контуре .
В формуле (35) векторный потенциал и поток обусловлены не только током, но и токами в остальных контурах. В силу принципа суперпозиции можно записать следующее равенство:
(36).
где — векторный потенциал, создаваемый в рассматриваемой точке током , протекающим в контуре .
Выделим в сумме (36) векторный потенциал, соответствующий току :
(37).
и подставим в (35). В результате придем к выражению.
Преобразовав интегралы в полученном выражении с помощью теоремы Стокса, перепишем его в виде.
(38).
где — поток, сцепленный с контуром, который обусловлен током контура .
Первое слагаемое в правой части формулы (38) определяет собственную энергию контуров системы, а второе — взаимную энергию.