Энергия стационарного магнитного поля

Общее выражение для энергии магнитного поля, сосредоточенной в некотором объеме , остается справедливым и в случае стационарных процессов:

(28).

Формулу (28) можно преобразовать таким образом, чтобы магнитная энергия была выражена через токи, создающие магнитное поле. Для этого заменим в (28) вектор его представлением через векторный потенциал. Используя тождество, получаем.

(29).

Первый интеграл в уравнении (29) преобразуем в поверхностный интеграл, используя теорему Остроградского-Гаусса, а во втором интеграле выразим через плотность токов с помощью равенства. Тогда соотношение (29) примет вид.

(30).

где — поверхность, ограничивающая объем .

Выберем в качестве поверхности сферу радиуса и устремим к бесконечности, т. е. распространим интегрирование в (30) на все пространство.

Любая пространственно ограниченная система токов создает магнитное поле, напряженность и векторный потенциал которого при убывают пропорционально и соответственно (или еще быстрее). При этом поверхность возрастает пропорционально. Следовательно, в пределе при первый интеграл в правой части уравнения (4.29) будет равен нулю. В результате получим.

(31).

В случае линейных токов выражение для энергии магнитного поля упрощается. Рассмотрим вначале уединенный контур с током. Формула (31) для этого контура принимает вид.

(32).

Применим к интегралу в (32) теорему Стокса:

где — магнитный поток через поверхность, опирающуюся на контур. Подставляя (33) в (32), получаем.

(34).

В случае контуров выражение для записывается следующим образом:

(35).

где — магнитный поток, сцепленный с контуром, а — ток в контуре .

В формуле (35) векторный потенциал и поток обусловлены не только током, но и токами в остальных контурах. В силу принципа суперпозиции можно записать следующее равенство:

(36).

где — векторный потенциал, создаваемый в рассматриваемой точке током , протекающим в контуре .

Выделим в сумме (36) векторный потенциал, соответствующий току :

(37).

и подставим в (35). В результате придем к выражению.

Преобразовав интегралы в полученном выражении с помощью теоремы Стокса, перепишем его в виде.

(38).

где — поток, сцепленный с контуром, который обусловлен током контура .

Первое слагаемое в правой части формулы (38) определяет собственную энергию контуров системы, а второе — взаимную энергию.