Отражение частицы от потенциальной стенки

Пусть частица слева (из бесконечности) движется направо со скоростью v ее полная энергия Е = mv]/2 равна кинетической, т.к. U (x) = 0 при д;

Зависимость потенциальной энергии от координат имеет вид.

Если бы частица была классическая, ее дальнейшее поведение было бы определено однозначно: при Е (U0 — ее высота), а при Е > Щ проходит в область х > 0. По закону сохранения энергии ее скорость в этой области.

Квантовая частица, во-первых, может отразиться от стенки при Е > Uq. и, во-вторых, проникает при Е внутрь стенки на глубину.

Это аналогично глубине проникновения волн в среду с поглощением. Решение уравнения Шредингера для области х.

где к = s/lmE/h, В области х > 0 — только прошедшая волна.

где ?2 = /2т (Е — Uo)/H. При Е > Uq к2 — действительная величина, при Е < Uo — чисто мнимая, и волна де-Бройля в области х > 0 экспоненциально затухает.

Постоянные А и В найдем из условия непрерывности функции и ее производной в точке х = 0:

Эти постоянные определяют коэффициент отражения (вероятность отражения частицы от стенки).

и коэффициент прохождения (вероятность прохождения частицы в область х > 0).

Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Пусть частица движется слева направо со скоростью t7i и энергией.

Зависимость U (x) имеет вид потенциального барьера высотой Uq и шириной а:

Решение уравнения Шредингера аналогично п. 7.3.8:

причем коэффициенты А и В определяются характеристиками барьера Uo и а. Эти коэффициенты можно найти, **сшивая" функции и их производные в точках х = 0 и х = а.

Для классической материальной точки поведение после встречи с барьером однозначно. Если Е > Uo, частица пройдет через барьер, причем внутри барьера она замедлит скорость до величины.

Если Е < Uo, частица отразится от барьера, т.к. внутри барьера ее кинетическая энергия должна быть отрицательной, а скорость мнимой, что классическая механика запрещает.

Квантовая частица может пройти через барьер (туннелировать) и при Е < Uq. Коэффициент прохождения (вероятность туннелирования) приблизительно равен.

Этот эффект — ?'просачивание'' частицы через область, где она по классическим законам не может находится — называется туннельным. Он объясняет множество явлений, с точки зрения классической физики запрещенных — автоэлектронную эмиссию, распад ядер, эффект Джозефсона в сверхпроводниках и т. д. Чисто квантовая природа туннельного эффекта доказывается предельным переходом D—> 0 при Л —> 0.

При Е > (Jo квантовая частица не обязательно проходит через барьер, причем вероятность ее прохождения осциллирует (колеблется) с ростом энергии частицы Е:

Природа этих осцилляций — интерференция волн де-Бройля, отраженных от границ потенциального барьера .v = 0 и х = а. Это вполне аналогично известному в оптике явлению интерференции в тонких пленках.

Два описанных явления — туннельный эффект при Е < Uo и осцилляции коэффициентов отражения и прохождения при Е > Uo — неразрывно связаны и составляют, по-сути, два режима одного и того же процесса.