Оценка тренда и периодической составляющей (аналитическое выравнивание)

Оценка тренда и периодической составляющей временного ряда с помощью метода аналитического выравнивания состоит из следующих этапов. Вначале необходимо выбрать тип тренда u_t, это можно сделать на основе графика временного ряда или с по мощью содержательных соображений, связанных с характером динамики изучаемого показателя.

На практике в качестве модели тренда часто используются следующие функции [7]:

• 1. Линейная — м (/) = а + Ы.
• 2. Полиномиальная -(обычно не выше

третьей степени).

3. Экспоненциальная —

4. Логистическая —

5. Кривая Гомпсрца

На рис. 6.3.1 приведен пример временного ряда и двух линий тренда — линейного (сплошная линия) и полиномиального (второго порядка, пунктирная линия).

Рис. 6.3.1.

Для оценки параметров тренда u (t) обычно используется метод наименьших квадратов: значения временного ряда у, рассматриваются как зависимая переменная, а время / - как объясняющая. Таким образом, с помощью МНК оцениваются параметры модели.

где возмущения ?_t предполагаются удовлетворяющими всем основным предположениям регрессионного анализа (см. § 1.5). Несмотря на то, что для временных рядов эти предпосылки (независимость, одинаковая распределенность и нормальность возмущений) обычно выполнены не полностью — для временных рядов характерна зависимость соседних наблюдений, использование МНК в случае, когда выбрана достаточно адекватная модель и нет больших выбросов в наблюдениях, представляется разумным, т. к. эти нарушения сказываются не на значениях оценок параметров, а на их статистических свойствах (оценки дисперсий смещены).

Предположим, что для случая, изображенного на рис. 6.3.1, рассматривается аддитивная модель временного ряда, содержащая тренд и сезонную компоненту:

В качестве модели тренда в нашем примере рассмотрим линейный тренд. По двумерной выборке (, у₁)₉(2₉у₂)₉…,(п, у_№) строится выборочная парная регрессия показателя у на /:

которая и будет далее рассматриваться как оценка линейного тренда.

Для оценки сезонной (периодической) компоненты необходимо устранить тренд из временного ряда. Для этого от исходного временного ряда следует перейти к разностям.

График этих разностей приведен на рис. 6.3.2.

Рис. 6.3.2.

Если известен период сезонной компоненты, то нетрудно найти для нее оценку. Пусть в имеющихся п наблюдениях содержится целое число периодов т =—, здесь Т — длина периода. Для нашего примера длина периода равна Т = 4, а число периодов — т = 6. Тогда оценка сезонной составляющей находится по формуле:

т. с. для каждого сезона находится среднее значение всех относящихся к нему разностей.

На практике иногда требуют, чтобы оценки сезонных компонент удовлетворяли условию.

выполнение которого при необходимости достигают дополнительной нормировкой значений оценок сезонной компоненты.

Эмпирическая модель рассматриваемого временного ряда представляет собой сумму оценки тренда и сезонной компоненты:

где значения тренда и, вычисляются по формуле (6.3.1), а сезонной компоненты .9, — по формуле (6.3.2).

На рис. 6.3.3 приведен исходный временной ряд (сплошная линия) и его модель (пунктирная линия), значения которой вычислены по формуле (6.3.3).

Рис. 6.3.3.

Оценка сезонности в мультипликативной модели производится аналогично, в этом случае оценки сезонной компоненты находят по формуле.