Геометрические свойства смешанного произведения

• 1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.
• 2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны: векторы компланарны. Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение:, где — угол между векторами и. Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади параллелограмма, построенного на векторах и:. Поэтому. Алгебраическое значение длины проекции вектора на ось, задаваемую вектором, равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла. Если тройка правая, то и смешанное произведение положительно. Если же тройка левая, то и смешанное произведение отрицательно. Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: или (т.е.), или (т.е. вектор принадлежит плоскости векторов и). В каждом случае векторы компланарны (см. разд. 1.1).