Сравнение бесконечно малых

Мы часто произносим сакраментальную фразу: «Все познается в сравнении». «У меня в бумажнике порядка 100 рублей» — говорим мы в случае, когда на самом деле там 98 или 105 рублей.

Сравнивая два числа А и В, обычно рассматривают их А Л отношение: —. А как сравнить переменные величины, на;

пример, две бесконечно малые в одном и том же процессе? При фиксированном значении х каждая из них принимает определенное числовое значение; однако отношение этих чисел ничего не говорит о соотношении этих бесконечно малых при других значениях х. Точное представление об истинном соотношении между бесконечно малыми дает лишь предел их отношения в том же самом процессе. При сравнении бесконечно малых применяются следующие определения.

Определение 6.6. Будем говорить, что две бесконечно малые ф (х) и ф (х) одного порядка, если предел их отношения отличен от нуля; если при этом он равен едини;

Ч'(*).

це, то бесконечно малые называются эквивалентными (обозначение ф (х) ~ ф (х)), по ассоциации с тем, что два числа.

1 о ^л

А и В равны, если их отношение — равно единице.

В

Эквивалентность отражает похожесть бесконечно малых в одном и том же процессе, их приближенное равенство; это обстоятельство позволяет во многих случаях заменять одну бесконечно малую другой, ей эквивалентной.

Определение 6.7. Будем говорить, что ф (х) есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с |/(х), если предел отношения ^^х^ равен нулю (т.е. если это от;

|/(х) ношение само есть величина бесконечно малая). При этом ф (х) — бесконечно малая низшего порядка по сравнению с ф (х).

Рассмотрим пример. Прежде всего убедимся в том, что две функции.

являются бесконечно малыми при х-э. Имеем:

Сравним эти бесконечно малые. Для этого найдем предел их отношения при х-*:

Таким образом согласно определению 6.6 данные функции при х -«1 являются эквивалентными бесконечно малыми.

Далее рассмотрим предел отношения разности этих бесконечно малых к одной из них, например к ср (.г):

Этот ответ подтверждает следующую важную закономерность: разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Применив новые категории сравнения к рассмотренным ранее пределам, получим следующие, важные в математике и ее приложениях эквивалентности при х—>0 и соответствующие приближенные равенства:

Практическая значимость этих четырех формул состоит в том, что при малых значениях аргумента х они позволяют приближенно заменить трансцендентные функции на существенно более простые функции: линейные или квадратичные. При этом погрешность оказывается бесконечно малой величиной более высокого порядка.

В каждом из этих случаев две эквивалентные бесконечно малые разнятся между собой на бесконечно малую высшего порядка. Например, первый замечательный предел показывает, что имеет место соотношение:

где ф (х) — некоторая бесконечно малая. Поэтому точное равенство имеет вид:

Здесь произведение х ? ф (х) — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с х. Аналогично можно представить и три другие функции.