Проблема идентифицируемости. 
Эконометрика

Важным моментом косвенного метода наименьших квадратов является возможность нахождения структурных коэффициентов по известным оценкам коэффициентов приведенной формы. Но количество структурных коэффициентов может отличаться от количества приведенных коэффициентов, к тому же соотношения, связывающие эти коэффициенты, чаще всего являются нелинейными. Поэтому нахождение структурных коэффициентов по оценкам приведенной формы может представлять сложную задачу. К сожалению, не всегда удается с помощью оценок параметров приведенной формы определить оценки структурных параметров. При использовании двухшагового метода наименьших квадратов, при котором инструментальные переменные получаются регрессией на экзогенные переменные, отсутствие некоторых экзогенных переменных в рассматриваемом уравнении также важно, иначе можно получить случай полной коллинеарности.

Так, для системы (5.1.5) даже знание точных значений коэффициентов приведенной формы (5.1.8) не позволяет сделать никаких выводов относительно структурных параметров /?, Д второго уравнения системы (5.1.5). То есть коэффициенты /?,/?, неидентифицируемы.

В общем случае под идентифицируемостью понимают возможность определения структурных коэффициентов уравнения по коэффициентам приведенной формы.

Структурный параметр называется идентифицируемым, если он может быть однозначно оценен с помощью косвенного метода наименьших квадратов. Уравнение идентифицируемо, если идентифицируемы все входящие в него структурные параметры.

Структурный параметр называется не идентифицируемым, если его значение нельзя определить, даже зная точные значения параметров приведенной формы.

Структурный параметр называется сверхидентифицируемым, если косвенный метод наименьших квадратов даст несколько различных его оценок, т. е. существует несколько значений структурного коэффициента, соответствующих найденным значениям приведенных коэффициентов. В этом случае обычно слишком много уравнений для нахождения структурных коэффициентов через приведенные и система противоречива.

В рассматриваемом примере второе уравнение системы (5.1.5) иеидентифицируемо, т. к. содержит коэффициенты, которые не могут быть определены по коэффициентам приведенной формы (системы (5.1.7) и (5.1.8)).

Нетрудно увидеть причину неидентифицируемости этого уравнения. Для этого умножим первое уравнение системы (5.1.5) на произвольное число Я (Я*0;1), а второе уравнение — на (1-Я) и сложим. В результате получаем уравнение

где.

Уравнение (5.3.1) имеет точно такой же вид, что и второе уравнение системы (5.1.5). Следовательно, существует бесконечно много структурных форм, совместимых с имеющимися данными q_l, p_ny_l.

Рассмотрим в качестве примера систему с двумя эндогенными (У| и К,) и двумя экзогенными (Х_] и Х₂) переменными:

Приведенная форма этой системы имеет вид: где.

Отсюда получаем:

Три коэффициента Д, Д, неидентифицируемы — не могут быть найдены из первых двух уравнений. В то же время параметр у₂ является свсрхидснтифицирусмым — для его определения имеются две различные возможности.

Заметим, что оценки структурных коэффициентов находятся на основе оценок приведенных коэффициентов. Характер проблем неидентифицируемости и сверхидентифицируемости различен:

• 1. Проблема сверхидентифицируемости связана с количеством наблюдений: с увеличением объема выборки все различные состоятельные оценки параметра будут стремиться к одному и тому же значению.
• 2. Проблема неидентифицируемости — это проблема структуры модели. Неидентифицируемость не исчезает с ростом количества наблюдений и свидетельствует о том, что существует бесконечное число моделей, имеющих одну и ту же приведенную форму, что никак не связано с количеством наблюдений.

Итак, проблема идентифицируемости, по сути, связана с возможностью разрешения некоторой системы соотношений, связывающих структурные и приведенные коэффициенты, что зависит от количества переменных, отсутствующих в уравнении.

Для быстрой формальной проверки идентифицируемости структурных уравнений применяются следующие необходимые, обычно называемые порядковыми условиями. Пусть система одновременных уравнений включает в себя N уравнений относительно N эндогенных переменных. Пусть в системе имеется М экзогеннных (либо предопределенных) переменных. Пусть количество эндогенных и экзогенных переменных в проверяемом на идентифицируемость уравнении равно п и т соответственно. Переменные, нс входящие в данное уравнение, но входящие в другие уравнения системы, назовем исключенными переменными (из данного уравнения). Их количество равно N-п для эндогенных и М-т для экзогенных переменных соответственно.

Первое необходимое условие идентифицируемости.

Уравнение идентифицируемо, если оно исключает, по крайней мерс, N — переменную (эндогенную или экзогенную), присутствующую в модели:

Второе необходимое условие идентифицируемости.

Уравнение идентифицируемо, если количество исключенных из уравнения экзогенных переменных нс меньше количества эндогенных переменных в этом уравнении, уменьшенном на единицу:

Знаки равенства в обоих необходимых условиях соответствуют точной идентификации уравнения. Знак «меньше» соответствует случаю неидентифицируемости, знак «больше» — сверхидентифицируемости.

Заметим, что эти условия являются лишь необходимыми условиями идентифицируемости уравнения: даже при их выполнении уравнения могут оказаться линейно зависимыми. Опираясь на общую теорию систем линейных уравнений, можно сформулировать необходимое и достаточное условие, так называемое ранговое условие.

Необходимое и достаточное условие идентифицируемости.

В модели, содержащей N уравнений относительно N эндогенных переменных, условие идентифицируемости выполняется тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из исключенных из данных уравнений переменных, но входящих в другие уравнения системы, равен N —1.

В модели спрос-предложение (5.1.1) для всех уравнений N = 2, М = 1, п — 2. Уравнение.

неидентифицируемо, т. к. для него т = 1 и.

Уравнение.

идентифицируемо: для него т = 0 и выполнено условие