Хаос в динамических системах

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Для которой легко проследить, как ведут себя некоторые последовательности {х"}. Пусть X! задается рациональным числом, имеющим п знаков после запятой. Тогда х2, х3 и все следующие элементы последовательности будут иметь столько же или меньше знаков. Но чисел, у которых имеется только v знаков, не больше, чем Nv = 10v. Следовательно, через N < Nv элементов в последовательности {х"} начнут… Читать ещё >

Хаос в динамических системах (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Рассмотрим подробнее причину возникновения рассмотренных выше бифуркаций с удвоением периода. Прежде всего обратим внимание на то, что увеличение значения А: у логистической функции L_k(x) = кх ( 1 -х) приводит к растяжению графиков функций L_k(x) и L_k(x) вдоль оси у (рис. 1.46). Если при некотором значении к график L_k²(x) и прямая х = у пересекаются в одной точке, то при увеличении к могут появиться дополнительные точки пересечения (рис. 1.47). Они и будут определять цикл с периодом 2. Функция L²_k (х), соответствующая второй итерации логистической.

Рис. 1.46.

Рис. 1.47.

функции L_k, в свою очередь испытывает бифуркацию удвоения периода при достижении Л определенного значения: при этом цикл с периодом 2 перестает быть устойчивым и становится отталкивающим, но зато появляется новый устойчивый цикл с периодом 4. Такой режим появления новых циклов с удвоением периода сменяется при 3,57 < к < 4 на так называемый хаотический режим, или хаос.

Рассуждая так же, как и в случае фиксированной точки, можно показать, что устойчивость цикла с элементами X), …, х" определяется символическим неравенством.

которое может быть переписано в развернутом виде:

При переходе от фиксированной точки (цикла с периодом 1) к циклу с периодом 2 фиксированная точка теряет устойчивость и в ее окрестности появляются две новые устойчивые точки. Здесь вновь происходит бифуркация. Рассматривая функции L (x), L (x), …, можно увидеть, как происходят следующие удвоения.

На рис. 1.48 показан график зависимости х (к) в итерации.

иллюстрирующей усложнение устойчивых циклов, происходящих в результате бифуркаций удвоения периода. Циклу с периодом 2.

Рис. 1.48.

соответствуют две точки на одной вертикали, циклу с периодом 4 — четыре точки и т. д. Рассматриваемая модель приводит к установлению не только качественных, но и определенных количественных универсальных закономерностей, впервые установленных М.Фейгенбаумом. Если обозначить через &_ь к_ъ к₃, … те значения параметра к, при которых происходят удвоения периода, то при больших п эта последовательность асимптотически ведет себя как геометрическая прогрессия. При этом величина.

является универсальной постоянной, не зависящей от конкретной модели. Такой же результат наблюдается, например, для простой мальтузианской модели численности популяции с конкуренцией:

При малых значениях к устойчива фиксированная точка х = 0. При больших значениях к последовательно возникают ненулевая фиксированная точка (бифуркация к₀), циклы периода 2 (бифуркация удвоения А,), периода 4 (к₂) и т. д.

Результат, выражаемый соотношением (3), означает существование каскадов удвоения периода: последовательные бифуркации удвоения быстро следуют один за другим, так что на конечный отрезок изменения параметра к приходится бесконечное число удвоений. Кроме того, существует еще одна универсальная постоянная: отношение величин d_n/d_n+l, смысл которых ясен из рис. 1.48, при п -> о© также стремится к пределу d = 2,5 029 078…

Явление бифуркации позволяет глубже понять соотношение между хаосом и детерминированным поведением, хотя на первый взгляд они кажутся взаимоисключающими. Как уже отмечалось, «динамический» хаос является сложной структурой, представляющей собой предел циклов с удвоением периода. Если проследить за последовательностью итераций {*"} при к = к", то никогда не встретятся два в точности равных цикла. Действительно, если x_N = то x_N+l = Хуу_+/п+1, и получается цикл порядка т. Однако среди {х"} будут встречаться очень близкие значения.

Пусть х_р — x_q < е₀, где е₀ очень мало. Сравним числа |х_рЛ -х^₊₁| = ?|, х_р+2 -х^₊₂| = ?2 и т. д. Итерации показывают, что значения е_ь е₂, ?3, … не превышают е₀. Это означает, что с точностью до е₀ можно предсказать ход процесса. Однако, если положить к = 4, то? i окажется больше е₀, е₂ > ?| > ?о ^и т.д., сколь бы малым ни взяли е₀. Другими словами, пути двух близких точек быстро расходятся. Это свойство называется чувствительностью к начальным условиям. При наличии у системы такой чувствительности практически невозможно предсказать ее поведение в будущем.

В реальных системах начальные условия всегда известны с некоторой погрешностью. Поэтому поведение системы, обладающей чувствительностью к начальным условиям, оказывается непредсказуемым. Такие же свойства наблюдаются и в характерных эволюционных системах, описываемых зависящими от параметра дифференциальными уравнениями. Впервые это было обнаружено американским метеорологом Э. Лоренцом на очень простой модели конвективного движения в атмосфере, представляющей собой систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений.

Причину того, почему хаотическое поведение встречается гораздо чаще детерминированного, можно пояснить с помощью простой дискретной модели:

для которой легко проследить, как ведут себя некоторые последовательности {х"}. Пусть X! задается рациональным числом, имеющим п знаков после запятой. Тогда х₂, х₃ и все следующие элементы последовательности будут иметь столько же или меньше знаков. Но чисел, у которых имеется только v знаков, не больше, чем N_v = 10^v. Следовательно, через N < N_v элементов в последовательности {х"} начнут появляться одинаковые числа, а это означает, что имеется конечный цикл, а не хаос. Все эти циклы будут неустойчивыми, так как |d/7d!x| = 2 > 1, и условие (2) устойчивости не будет выполнено.

Если в качестве х_{ в (5) взять иррациональное число, то повторяющихся чисел в последовательности {х_л> не будет. Есть здесь и чувствительность к начальным условиям: если |х, — Xj | = е, то, как следует из (5), х₂-х₂ = 2е_у |х₃-х₃| = 4е и т. д., пока разность |х_р — х_р не станет достаточно большой.

Итак, мы приходим к выводу: любое рациональное число х_х приводит при итерациях к циклу, иррациональное — к хаосу. Но все рациональные числа, лежащие на отрезке [-1,1], можно перенумеровать, иррациональные — нет. Поэтому координата взятой наугад начальной точки почти всегда оказывается иррациональным числом, что соответствует хаосу.

Тем не менее в хаосе, описываемом соотношением (5), существует определенный «порядок». Несмотря на очень сложное динамическое поведение системы, ее статистические характеристики весьма просты. Нетрудно проверить, что среднее значение (х) величины х стремится к нулю при неограниченном возрастании числа итераций п при любом иррациональном числе х_}:

Кроме того, можно показать, что значение.

не зависит от начального значения х_{.

Таким образом, даже очень простые математические модели нелинейных динамических систем приводят к выводу об очень сложном поведении системы, характеризуемом хаосом.

Рис. 1.49.

Рассмотрим теперь проявление динамического хаоса в системах, которые заведомо известны как «детерминированные», например, такие, как течение воды в турбулентном потоке, движение воздушных масс в атмосфере и т. д. Подобные системы являются детерминированными в том смысле, что они подчиняются строгим законам физики. Но это отнюдь не означает, что их поведение предсказуемо. Малое изменение начальных условий может приводить к радикальным изменениям в поведении системы.

Для описания механического поведения систем, описываемых дифференциальными уравнениями, удобно использовать так называемые «сечения Пуанкаре», в которых рассматриваются поперечные сечения (х, у, /) —^тР^аект°Р^ий плоскостями t = const (рис. 1.49). Обычно в качестве временного интервала сечений берется период внешнего воздействия на систему. Точки пересечения траекторий с плоскостями t = const указываются на одной плоскости (х, у). В результате возникает удобная для наглядного представления двухмерная картина, которая содержит последоРис. 1.50 вагельность точек пересечения. Это.

своего рода «дискретная» орбита, показывающая (х, у)-координаты начальной точки, координаты точки спустя один период, два периода и т. д. (рис. 1.50). Если пренебречь системой дифференциальных уравнений, определяющих траектории системы, то получающаяся картина эквивалентна определенной дискретной динамической системе, рассмотренной выше:

В качестве примера рассмотрим незатухающий нелинейный математический маятник единичной массы и единичной длины, на который действует внешняя периодическая сила, периодически толкающая маятник по и против часовой стрелки:

Уравнение (9) переписывается в виде системы двух уравнений первого порядка:

Система оказывается чувствительной к начальным условиям. На рис. 1.51 и 1.52 показаны сечения Пуанкаре для е = 0,01 при.

Рис. 1.52.

Рис. 1.51

начальном условии вблизи точки (0, 0) и вблизи точки (-я, 0) соответственно. Для удобства вычислений полагается g= 1.

Начальное условие вблизи точки (0, 0) соответствует малой начальной скорости и малому углу смещения от равновесного положения. Результирующий контур на сечении Пуанкаре соответствует колебаниям с изменяющейся амплитудой. Начальное условие вблизи точки (-я, 0) соответствует «перевернутому» положению маятника и малой начальной скорости. На сечении Пуанкаре видно бесформенное «облако» точек без какой-либо конкретной структуры. Угловая координата 0 иногда становится весьма большой, что соответствует движению с большим количеством оборотов маятника в одном направлении. На рис. 1.53 показана зависимость от времени двух различных решений, начинающихся вблизи точки (-я, 0) с почти одинаковыми начальными условиями, которые в дальнейшем становятся совершенно различными.

Рис. 1.53.

Качественная картина поведения маятника в этом случае понятна. При выбранном начальном условии перевернутый маятник сначала движется вниз к положению устойчивого равновесия, и во время этого движения малая, но величине вынуждающая сила не оказывает практически никакого влияния на движение маятника. Проскочив по инерции положение равновесия, маятник поднимается вверх до почти вертикального положения, замедляясь при этом до почти полной остановки, так что эффект действия вынуждающей внешней периодической силы становится более заметным. Когда маятник приходит в верхнюю точку, вынуждающая сила или «проталкивает» его через вершину, так что маятник делает еще один оборот в том же направлении, или «тянет» его назад, так что маятник делает оборот в обратном направлении. Как именно поведет себя маятник, зависит от момента времени, в который он подходит к высшей точке своей траектории. Поскольку вблизи этой точки маятник движется очень медленно, незначительное изменение начального условия может привести к радикальным изменениям в характере влияния вынуждающей силы и, следовательно, в характере дальнейшего движения маятника. Таким образом, динамические соображения позволяют как выявить возможные варианты в характере движения маятника, так и объяснить на качественном уровне причину исключительной чувствительности системы к начальным условиям. Однако они не позволяют практически предсказать реальный ход поведения маятника: в системе возможен хаос, причем даже в таком идеализированном случае, когда число определяющих систему факторов сведено до минимума. Фактическое проявление хаоса легко устанавливается по виду сечения Пуанкаре, получаемого при численном решении уравнений движения.

Изложенная в последних подразделах техника исследования дифференциальных уравнений позволила элементарными методами проанализировать сложное поведение нелинейных систем и обнаружить такие явления, как динамический или детерминированный хаос. Эта техника основана на сведении реальных систем с высокой размерностью к дискретным динамическим моделям, имеющим гораздо меньшую размерность. Развитый подход, не являясь абсолютно универсальным и пригодным в случаях более высокой размерности движения, позволяет, тем не менее, получать результаты в ряде практически важных случаев, описываемых различными типами систем дифференциальных уравнений.

Не останавливаясь подробно на анализе поведения более сложных систем, таких, как система трех уравнений Лоренца в метеорологии, отметим характерную особенность их поведения: после некоторого блуждания в трехмерном пространстве траектории «сгущаются» в некоторой ограниченной его области. Этот объект, к которому стремятся траектории, получил название «странного аттрактора», поскольку он существенно отличен от более простых аттракторов — равновесных неподвижных точек и периодических циклов, рассмотренных выше.

Задачи и упражнения

1. На рисунке к задаче показаны сечения Пуанкаре для системы уравнений.