Установление корреляционно-регрессионных зависимостей

1. Вычисляем коэффициент корреляции между факторами и по формуле:

Значения коэффициента корреляции колеблется .

Коэффициент корреляции определяет вид связи между факторами и .

Построим гистограмму статистических данных (или). Определяем и, далее интервал и делим на частей, желательно на частей. Подсчитаем количество данных попадающих соответствующие интервалы, соответственно. При этом должно выполнятся равенство. По данным построим гистограмму данных (или).

Вид гистограммы могут быть различными:

Построение регрессионной модели объекта исследования

После того как определен вид модели, необходимо найти числовые значения ее параметров. При вычислении параметров корреляционно-регрессионных моделей применяют метод наименьших квадратов, метод средних, метод наименьшего предельного уклонения и другие численные методы. Наиболее распространенным: является метод наименьших квадратов. Сущность его заключается в том, что необходимо найти такие значения параметров модели, при которых сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных окажется минимальной.

Вид связи выбираем линейной:

.

Данную прямую линии на корреляционной поле необходимо установить так чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от аналитических (расчетных) окажется минимальной. Таких линий можно провести бесконечно. Это зависит от значения параметра прямой и .

Это условие можно записать следующим образом:

где — фактическое значение зависимой переменной;

— аналитическое (расчетное) значение зависимой переменной.

Для выполнения поставленного условия следует решить систему нормальных уравнений, которые строятся следующим образом: исходное уравнение перемножают сначала на коэффициент при первом неизвестном и полученные данные суммируют. Затем исходное уравнение перемножают на коэффициент при втором неизвестном, полученные выражения также суммируют и т. д.

Рассмотрим, как получается система нормальных уравнений для корреляционно-регрессионной модели y = a₀ + a₁ x. В данном уравнении коэффициент при первом неизвестном а₀ равен 1. Следовательно, исходное уравнение после перемножения сохраняет вид:

y = a₀ + a₁ x,.

а после суммирования.

Коэффициент при втором неизвестном а₁ равен х. Умножая на него все члены уравнения, получим:

а после суммирования.

Значения рассчитывают по данным наблюдения, а неизвестные параметры и определяют решением системы уравнений:

Правила получения системы нормальных уравнений распространяются на все виды корреляционно-регрессионных моделей.

После того как определен вид модели и найдены ее параметры, необходимо ее оценить, т. е. проверять, насколько она соответствует изучаемой зависимости и как тесно связан результативный показатель с факторами, обусловливающими его уровень.

Для оценки корреляционно-регрессионных моделей используют коэффициент корреляции, если связь линейная, и корреляционное отношение близок к 1, если связь нелинейная, то корреляционное отношение близок к 0.

Общая формула для определения коэффициента корреляции имеет вид:

где — средний квадрат отклонений фактических значений от общей средней .

— средний квадрат отклонений фактических значений от, вычисленных по уравнению.

Эта формула имеет ряд модификаций. Для коэффициента парной линейной корреляции.

для измерения влияния двух факторов на результат.

где — коэффициенты парной линейной корреляции.

Корреляционное отношение вычисляется так же, как и коэффициент корреляции, по формуле.

где — корреляционное отношение.

Значения коэффициента корреляции R и корреляционного отношения меняются в пределах от 0 до 1. Чем ближе к единице R и, тем зависимость теснее, т. е. линейная. Значение коэффициента корреляции при парной линейной зависимости меняется в пределах от —1 до +1. Знак показывает направление связи. Если связь прямо пропорциональная, то коэффициент положительный, если обратно пропорциональная — отрицательный.

Надежность изучения связей в значительной степени зависит от количества сопоставляемых данных, в связи с чем необходимо измерить существенность полученного коэффициента корреляции или корреляционного отношения, т. е. определить, не является ли его величина случайной.

Существенность коэффициента корреляции и корреляционного отношения проверяется с помощью t-критерия Стьюдента, который определяется как отношение величины, R или к их средней ошибке. Например, формула определения t-критерия для коэффициента корреляции при парной связи имеет вид:

где — средняя ошибка.

Если расчетный t-критерий больше табличного, то с большой вероятностью можно утверждать что значение коэффициента корреляции или корреляционного отношения существенно, т. е. связь между признаками не является случайной; если t-критерий меньше, то связь между признаками несущественна, т. е. является случайной.

Средняя ошибка m находится по следующим формулам:

для коэффициента парной линейной корреляции:

для коэффициента множественной корреляции:

для корреляционного отношения (парная зависимость):

для корреляционного отношения (множественная зависимость):

где — число наблюдений;

— число факторов.

Программа построения модели приведена в приложении 3. С помощью данной программы можно выражать зависимость результативного показателя от одного или нескольких независимых факторов, связь между которыми носит линейный характер, т. е. строить линейные однофакторные или многофакторные модели.

С помощью преобразований нелинейную зависимость можно свести к линейной. Например, если связь между признаками надо выразить в виде уравнения параболы, то в исходных данных х необходимо возвести в квадрат и использовать его как фактор х'. Уравнение связи будет иметь вид: .