Исследование методов резервирования систем

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана КУРСОВАЯ РАБОТА

" Исследование методов резервирования систем"

по разделу

" Модели и методы оценки надежности автоматизированных систем"

курса

" Надёжность и достоверность"

Москва, 2010

ЗАДАНИЕ

1. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМАЯ РЕЗЕРВИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ЦЕЛОЙ КРАТНОСТЬЮ

1.1 Система с нагруженным резервом

1.1.1 Расчетно-логическая схема системы

1.1.2 Граф состояний системы

1.1.3 Расчет основных характеристик системы.

1.1.4 Выводы.

1.2 Система с частично нагруженным резервом

1.2.1 Расчетно-логическая схема системы

1.2.2 Граф состояний системы.

1.2.3 Расчет основных характеристик системы

1.2.4 Выводы.

1.3 Система с ненагруженным резервом

1.3.1 Расчетно-логическая схема системы

1.3.2 Граф состояний системы.

1.3.3 Расчет основных характеристик системы

1.3.4 Выводы.

1.4 Сравнение характеристик невосстанавливаемых резервированных систем с целой кратностью

2. Восстанавливаемая резервируемая система с ДРОБНОЙ кратностью при ограниченном ремонте

2.1 Система с нагруженным резервом

2.1.1 Расчетно-логическая схема

2.1.2 Граф состояний системы

2.1.3 Расчет основных характеристик системы

2.1.4 Выводы

2.2 Система с частично нагруженным резервом

2.2.1 Расчетно-логическая схема

2.2.2 Граф состояний системы

2.2.3 Расчет основных характеристик системы

2.2.4 Выводы

2.3 Система с ненагруженным резервом

2.3.1 Расчетно-логическая схема

2.3.2 Граф состояний системы

2.3.3 Расчет основных характеристик системы

2.3.4 Выводы

2.4 Сравнение характеристик восстанавливаемых резервированных систем с дробной кратностью при ограниченном ремонте

ЗАДАНИЕ

Для заданных расчетно-логических схем систем:

1. Получить методами интегральных, дифференциальных уравнений и методом графов (не менее чем двумя методами) для указанных в задании типов систем общие соотношения и расчетные формулы для критериев надежности систем: вероятности безотказной работы P (t), среднего времени безотказной работы mt, коэффициента готовности Кг, наработки на отказ, среднего времени восстановления, вероятности успешного использования системы R (t) = Кг*P (t).

2. Рассчитать для указанных в задании параметров по полученным соотношениям критерии надежности систем.

3. Исследовать влияние на надежность систем:

a) интенсивности отказов — P (), mt (), Кг (),, R ();

b) интенсивности отказов при облегченном режиме работы системы — P (), mt (), Кг (),, R ();

c) интенсивности восстановления — P (), mt (), Кг (), R ();

d) числа резервных блоков для различных типов резерва — Pг, т, х (s), mt г, т, х (s), Кгг, т, х (s), mtBг, т, х, Rг, т, х (s).

4. Провести сравнение по вероятности безотказной работы, среднему времени безотказной работы, коэффициенту готовности

a) резервированной и нерезервированной систем — Pр, нр, mt р, нр, Кгр, нр, р, нр;

b) различных типов резерва — Pг, т, х, mt г, т, х, Кгг, т, х, г, т, х;

c) восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем — Pв, нв, mt в, нв, Кгв, нв, в, нв.

Типы систем:

1. Невосстанавливаемая резервированная система с целой кратностью:

a) с нагруженным резервом;

b) с ненагруженным резервом;

c) с частично нагруженным резервом.

2. Восстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью при ограниченном ремонте:

a) с нагруженным резервом;

b) с ненагруженным резервом.

Исходные данные (для схем 2 а, б, в, 8 а, б, в):

1. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМАЯ РЕЗЕРВИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ЦЕЛОЙ КРАТНОСТЬЮ

1.1 Система с нагруженным резервом

1.1.1 Расчетно-логическая схема системы

Считается, что для работы системы достаточно наличие хотя бы одного работающего элемента.

1.1.2 Граф состояний системы

В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Граф состояний системы имеет вид:

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.1.3 Расчет основных характеристик системы

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P0(0)=1

P1(0)=0

P2(0)=0

P3(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Из этой системы получим Рi (t):

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Вероятность безотказной работы системы

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

Для заданных значений t = 1800 ч и = 5*10−2 1/ч .

Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданного значения? = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы mt = 2.292ч.

1.1.4 Выводы

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.

2. При увеличении интенсивности отказов? вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.

3. При увеличении интенсивности отказов? время безотказной работы уменьшается.

4. Для заданных значений интенсивности отказов = 0.8 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы .

5. Для заданного значения = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы mt составляет 2.292 ч, что меньше заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью лишь 0.117 к заданному времени система будет находиться в работоспособном состоянии.

1.2 Система с частично нагруженным резервом

1.2.1 Расчетно-логическая схема системы

Считается, что для работы системы необходим один работающий элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в теплом резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1.2.2 Граф состояний системы

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.2.3 Расчет основных характеристик системы

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P0(0)=1

P1(0)=0

P2(0)=0

P3(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Из этой системы получим Рi (t):

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Вероятность безотказной работы системы

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

Pсист = P0(t)+P1(t)+P2(t) = 1-P3(t)

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и 0 = 0.4 1/ч Pсист = 0.184.

Зависимость вероятности безотказной работы P (t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа резервных элементов ?0 представлена на графике:

Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданного значения ?=0.8 1/ч и ?0=0.4 1/ч среднее время безотказной работы mt = 2.708ч.

1.2.4 Выводы

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.

2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.

3. При увеличении интенсивности отказов нагруженных элементов вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.

4. При увеличении интенсивности отказов частично нагруженных элементов 0 вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.

5. При увеличении интенсивности отказов нагруженных элементов среднее время безотказной работы уменьшается.

6. При увеличении интенсивности отказов частично нагруженных элементов 0 среднее время безотказной работы уменьшается.

7. Для заданных значений интенсивностей отказов? = 0.8 1/ч, ?0 = 0.4 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы Pсист = 0.184.

8. Для заданных значений интенсивностей отказов? = 0.8 1/ч и ?0 = 0.4 1/ч среднее время безотказной работы mt составляет 2.708 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 0.184 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.

1.3 Система с ненагруженным резервом

1.3.1 Расчетно-логическая схема системы

Считается, что для работы системы необходим один работающий элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в холодном резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1.3.2 Граф состояний системы

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.3.3 Расчет основных характеристик системы

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P0(0)=1

P1(0)=0

P2(0)=0

P3(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Из этой системы получим Рi (t):

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Вероятность безотказной работы системы

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

Pсист = P0(t)+P1(t)+P2(t) = 1-P3(t)

Для заданных значений t = 4 ч и = 0.8 1/ч Pсист = 0.380.

Зависимость вероятности безотказной работы P (t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа элементов? представлена на графике:

Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданного значения ?=0.8 1/ч и ?0=0.4 1/ч среднее время безотказной работы mt = 3.750ч.

Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов элементов? приведена на графике:

1.3.4 Выводы

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.

2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.

3. При увеличении интенсивности отказов элементов вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.

4. Для заданных значений интенсивности отказов? = 0.8 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы Pсист = 0.380.

5. Для заданного значения интенсивности отказов? = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы mt составляет 3.750 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 0.380 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.

1.4 Сравнение характеристик невосстанавливаемых резервированных систем с целой кратностью

Сопоставление систем удобно провести с помощью сравнительных графиков.

Зависимость вероятностей безотказной работы от времени работы для разных типов систем представлена на графике:

Точные характеристики надежности систем для заданных значений t = 4 ч,? = 0.8 1/ч, ?0 = 0.4 1/ч приведены в таблице:

Выводы

Лучшими показателями надежности из рассмотренных систем с целой кратностью обладает система с ненагруженным резервом. Для заданных условий система с частично нагруженным резервом по показателям надежности превосходит систему с нагруженным резервом. Также необходимо отметить, что при интенсивности отказов резервных элементов? меньше интенсивности отказов резервных элементов ?0 = 0.4 1/ч система с нагруженным резервом превосходит систему с частично нагруженным резервом по показателям надежности.

2. Восстанавливаемая резервируемая система с целой кратностью при ограниченном ремонте

2.1 Система с нагруженным резервом

система нагруженный резерв кратность

2.1.1 Расчетно-логическая схема

Считается, что для работы системы необходимо пять работающих элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в горячем резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

2.1.2 Граф состояний системы

В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство. Тогда граф состояний системы примет вид:

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является состояние 4.

2.1.3 Расчет основных характеристик системы

Для определения вероятности безотказной работы системы составим систему дифференциальных уравнений, соответствующую графу состояний, запретив переход из отказового состояния 4 предотказовое состояние 3.

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P0(0)=1

P1(0)=0

P2(0)=0

P3(0)=0

P4(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

Отсюда имеем:

Таким образом:

Вероятность безотказной работы системы Для определения вероятности безотказной работы необходимо применить к системе обратное преобразование Лапласа и подставить заданные значения для интенсивности отказов ?, интенсивности восстановления? и времени работы t.

После обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

Pсист = P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)= 1-P4(t)

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и? = 0.05 1/ч Pсист = 8.46 065· 10−6.

Зависимость вероятности безотказной работы P (t) от времени работы системы представлена на графике:

Из полученного графика видно, что с увеличением времени работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии падает.

Увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.

Среднее время безотказной работы Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и? = 0.05 1/ч среднее время безотказной работы mt = 0,799ч.

Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов элементов? для? = 0.05 приведена в таблице:

Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности восстановления элементов? для? = 0.8 приведена в таблице:

Коэффициент готовности

Нахождение коэффициента готовности Кг системы можно осуществить двумя способами — путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко.

Нахождение Кг методом дифференциальных уравнений Для графа состояний рассматриваемой системы система дифференциальных уравнений имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P0(0)=1

P1(0)=0

P2(0)=0

P3(0)=0

P4(0)=0

Если предположить, что потоки стационарны, то есть и, = const, то можно получить следующую систему:

Тогда, исключая, например, четвертую строку как линейно зависимую от трех первых и пятой, можно получить следующую систему уравнений:

Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

Отсюда имеем:

Решением системы будет:

Для заданных значений = 0.8 1/ч и = 0.05 1/ч коэффициент готовности Кг принимает следующее значение:

Кг = P0 + P1 + P2 + P3 = 1 — Р4 = 0.1 247

Нахождение Кг методом Половко

Кг = P0 + P1 + P2 + P3 = 1 — Р4 = 0.1 247

Значения Кг, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим расчетным, что подтверждает правильность его нахождения.

Зависимость коэффициента готовности системы Кг от интенсивности отказов приведена на графике:

Средняя наработка на отказ Для заданных значений = 0.05 1/ч и Кг = 0.1 247 среднее время наработки на отказ принимает следующее значение:

Среднее время восстановления системы Для заданного значения интенсивности восстановления = 0.05

Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления приведена на графике:

Вероятность успешного использования системы

R (t)=Кг*Pсист Для заданных значений Кг = 0.1 247 и Рсист = 8.46 065· 10−6 R (t) = 0.10 550· 10−6.

Зависимость вероятности успешного использования системы от времени представлена на графике:

2.1.4 Выводы

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.

2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.

3. Вероятность безотказной работы системы Pсист увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

4. Для заданных значений = 0.8 1/ч,? = 0.05 1/ч и t = 4 ч вероятность безотказной работы системы Pсист = 8.46 065· 10−6.

5. Среднее время безотказной работы системы mt увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

6. Для заданных значений = 0.8 1/ч,? = 0.05 1/ч и t = 4 ч среднее время безотказной работы mt составляет 0.799 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 8.46 065· 10−6 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.

7. Коэффициент готовности системы Кг увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

8. Для заданных значений = 0.8 1/ч,? = 0.05 1/ч и t = 4 ч коэффициент готовности системы Кг = 0.1 247.

9. Средняя наработка системы на отказ увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

10. Для заданных значений = 0.05 1/ч и Кг = 0.1 247 среднее время наработки на отказ .

11. Среднее время восстановления системы уменьшается с уменьшением интенсивности отказов элементов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

12. Для заданного значения интенсивности восстановления = 0.05 среднее время восстановления системы .

13. Вероятность успешного использования системы R (t) увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

14. Для заданных значений Кг = 0.1 247 и Рсист = 8.46 065· 10−6 вероятность успешного использования системы R (t) = 0.10 550· 10−6.

2.2 Система с частично нагруженным резервом

2.2.1 Расчетно-логическая схема

2.2.2 Граф состояний системы

В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство. Тогда граф состояний системы примет вид:

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является состояние 4.

2.2.3 Расчет основных характеристик системы

Для определения вероятности безотказной работы системы составим систему дифференциальных уравнений, соответствующую графу состояний, запретив переход из отказового состояния 4 предотказовое состояние 3.

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P0(0)=1

P1(0)=0

P2(0)=0

P3(0)=0

P4(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

Отсюда имеем:

Таким образом:

Вероятность безотказной работы системы Для определения вероятности безотказной работы необходимо применить к системе обратное преобразование Лапласа и подставить заданные значения для интенсивности отказов нагруженных элементов ?, интенсивности отказов резервных элементов ?0, интенсивности восстановления? и времени работы t.

После обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

Pсист = P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)= 1-P4(t)

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч, 0 = 0.4 1/ч и? = 0.05 1/ч Pсист = 0.26 429· 10−6.

Зависимость вероятности безотказной работы P (t) от времени работы системы представлена на графике:

Из полученного графика видно, что с увеличением времени работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии падает.

Увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.

Увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.

Зависимость вероятности безотказной работы P (t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности восстановления элементов? представлена на графиках:

Среднее время безотказной работы Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч, 0 = 0.4 1/ч и? = 0.05 1/ч среднее время безотказной работы mt = 0.885 ч.

Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов нагруженных элементов? для ?0 = 0.4,? = 0.05 приведена в таблице:

Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов резервных элементов ?0 для? = 0.8,? = 0.05 приведена в таблице:

Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности восстановления элементов? для? = 0.8,? = 0.4 приведена в таблице:

Коэффициент готовности

Нахождение коэффициента готовности Кг системы можно осуществить двумя способами — путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко.

Нахождение Кг методом дифференциальных уравнений Для графа состояний рассматриваемой системы система дифференциальных уравнений имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P0(0)=1

P1(0)=0

P2(0)=0

P3(0)=0

P4(0)=0

Если предположить, что потоки стационарны, то есть и, = const, то можно получить следующую систему:

Тогда, исключая, например, четвертую строку как линейно зависимую от трех первых и пятой, можно получить следующую систему уравнений:

Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

Отсюда имеем:

Решением системы будет:

Для заданных значений = 0.8 1/ч, ?0 = 0.4 1/ч и = 0.05 1/ч коэффициент готовности Кг принимает следующее значение:

Кг = P0 + P1 + P2 + P3 = 1 — Р4 = 0.1 249

Нахождение Кг методом Половко Кг = P0 + P1 + P2 + P3 = 1 — Р4 = 0.1 249

Значения Кг, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим расчетным, что подтверждает правильность его нахождения.

Зависимость коэффициента готовности системы Кг от интенсивности отказов основных элементов приведена на графике:

Средняя наработка на отказ Для заданных значений = 0.05 1/ч и Кг = 0.1 249 среднее время наработки на отказ принимает следующее значение:

Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов представлена на графике:

Среднее время восстановления системы Для заданного значения интенсивности восстановления = 0.05

Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления приведена на графике:

Вероятность успешного использования системы

R (t)=Кг*Pсист Для заданных значений Кг = 0.1 249 и Рсист = 0.26 429· 10−6 R (t) = 0.10 564· 10−6.

Зависимость вероятности успешного использования системы от времени представлена на графике:

2.2.4 Выводы

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.

2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.

3. Вероятность безотказной работы системы Pсист увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов, 0 и увеличением интенсивности восстановления элементов .

4. Для заданных значений = 0.8 1/ч, 0 = 0.4 1/ч,? = 0.05 1/ч и t = 4 ч вероятность безотказной работы системы Pсист = 0.26 429· 10−6.

5. Среднее время безотказной работы системы mt увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов, 0 и увеличением интенсивности восстановления элементов .

6. Для заданных значений = 0.8 1/ч, 0 = 0.4 1/ч,? = 0.05 1/ч и t = 4 ч среднее время безотказной работы mt составляет 0.885 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 0.26 429· 10−6 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.

7. Коэффициент готовности системы Кг увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов, 0 и увеличением интенсивности восстановления элементов .

8. Для заданных значений = 0.8 1/ч, 0 = 0.4 1/ч,? = 0.05 1/ч и t = 4 ч коэффициент готовности системы Кг = 0.1 249.

9. Средняя наработка системы на отказ увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов, 0 и увеличением интенсивности восстановления элементов .

10. Для заданных значений = 0.05 1/ч и Кг = 0.1 249 среднее время наработки на отказ .

11. Среднее время восстановления системы уменьшается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов, 0 и увеличением интенсивности восстановления элементов .

12. Для заданного значения интенсивности восстановления = 0.05 среднее время восстановления системы .

13. Вероятность успешного использования системы R (t) увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов, 0 и увеличением интенсивности восстановления элементов .

14. Для заданных значений Кг = 0.1 249 и Рсист = 0.26 429· 10−6 вероятность успешного использования системы R (t) = 0.10 564· 10−6.

2.3 Система с ненагруженным резервом

2.3.1 Расчетно-логическая схема

2.3.2 Граф состояний системы

В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство. Тогда граф состояний системы примет вид:

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является состояние 4.

2.3.3 Расчет основных характеристик системы

Для определения вероятности безотказной работы системы составим систему дифференциальных уравнений, соответствующую графу состояний, запретив переход из отказового состояния 4 предотказовое состояние 3.

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P0(0)=1

P1(0)=0

P2(0)=0

P3(0)=0

P4(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

Отсюда имеем:

Таким образом:

Вероятность безотказной работы системы Для определения вероятности безотказной работы необходимо применить к системе обратное преобразование Лапласа и подставить заданные значения для интенсивности отказов нагруженных элементов ?, интенсивности восстановления? и времени работы t.

После обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

Pсист = P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)= 1-P4(t)

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и? = 0.05 1/ч Pсист = 14.53 451· 10−6.

Зависимость вероятности безотказной работы P (t) от времени работы системы представлена на графике:

Из полученного графика видно, что с увеличением времени работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии падает.

Увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.

Среднее время безотказной работы Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и? = 0.05 1/ч среднее время безотказной работы mt = 1.009 ч.

Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов элементов? для? = 0.05 приведена в таблице:

Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности восстановления элементов? для? = 0.8 приведена в таблице:

Коэффициент готовности

Нахождение коэффициента готовности Кг системы можно осуществить двумя способами — путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко.

Нахождение Кг методом дифференциальных уравнений Для графа состояний рассматриваемой системы система дифференциальных уравнений имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P0(0)=1

P1(0)=0

P2(0)=0

P3(0)=0

P4(0)=0

Если предположить, что потоки стационарны, то есть и, = const, то можно получить следующую систему:

Тогда, исключая, например, четвертую строку как линейно зависимую от трех первых и пятой, можно получить следующую систему уравнений:

Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

Отсюда имеем:

Решением системы будет:

Для заданных значений = 0.8 1/ч и = 0.05 1/ч коэффициент готовности Кг принимает следующее значение:

Кг = P0 + P1 + P2 + P3 = 1 — Р4 = 0.2 469

Нахождение Кг методом Половко Кг = P0 + P1 + P2 + P3 = 1 — Р4 = 0.2 469

Значения Кг, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим расчетным, что подтверждает правильность его нахождения.

Зависимость коэффициента готовности системы Кг от интенсивности отказов основных элементов приведена на графике:

Зависимость коэффициента готовности системы Кг от интенсивности восстановления приведена на графике:

Средняя наработка на отказ Для заданных значений = 0.05 1/ч и Кг = 0.2 469 среднее время наработки на отказ принимает следующее значение:

Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов представлена на графике:

Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности восстановления представлена на графике:

Среднее время восстановления системы Для заданного значения интенсивности восстановления = 0.05

Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления приведена на графике:

Вероятность успешного использования системы

R (t)=Кг*Pсист Для заданных значений Кг = 0.2 469 и Рсист = 14.53 451· 10−6 R (t) = 3.34 185· 10−6.

Зависимость вероятности успешного использования системы от времени представлена на графике:

2.3.4 Выводы

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.

2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.

3. Вероятность безотказной работы системы Pсист увеличивается с уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

4. Для заданных значений = 0.8 1/ч,? = 0.05 1/ч и t = 4 ч вероятность безотказной работы системы Pсист = 14.53 451· 10−6.

5. Среднее время безотказной работы системы mt увеличивается с уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

6. Для заданных значений = 0.8 1/ч,? = 0.05 1/ч и t = 4 ч среднее время безотказной работы mt составляет 1.009 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 14.53 451· 10−6 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.

7. Коэффициент готовности системы Кг увеличивается с уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

8. Для заданных значений = 0.8 1/ч,? = 0.05 1/ч и t = 4 ч коэффициент готовности системы Кг = 0.2 469.

9. Средняя наработка системы на отказ увеличивается с уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

10. Для заданных значений = 0.05 1/ч и Кг = 0.2 469 среднее время наработки на отказ .

11. Среднее время восстановления системы уменьшается с уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

12. Для заданного значения интенсивности восстановления = 0.05 среднее время восстановления системы .

13. Вероятность успешного использования системы R (t) увеличивается с уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановления элементов .

14. Для заданных значений Кг = 0.2 469 и Рсист = 0.14 вероятность успешного использования системы R (t) = 3.34 185· 10−6.

2.4 Сравнение характеристик восстанавливаемых резервированных систем с дробной кратностью при ограниченном ремонте

Сопоставление систем удобно провести с помощью сравнительной таблицы. Точные характеристики надежности систем для заданных значений t = 4 ч,? = 0.8 1/ч, ?0 = 0.4 1/ч приведены в таблице:

Выводы

Лучшими показателями надежности из рассмотренных систем с целой кратностью обладает система с ненагруженным резервом. Для заданных условий система с частично нагруженным резервом по показателям надежности превосходит систему с нагруженным резервом. Однако для системы, все резервные элементы которой нагружены, меньшее время занимает переключение с отказавшего элемента на резервный, что при данных расчетах не учитывалось.

Кузовлев В. И. Лекции по курсу «Надёжность и достоверность», МГТУ им. Н. Э. Баумана, кафедра ИУ5, 10 семестр, 2011 г.