Аппроксимация кривой настройки

Для измерения неизвестного параметра сигнала (уровня, частоты, направления прихода и т. д.) во многих измерительных приборах используется заданная в явной или неявной форме шкала, проградуированная в значениях измеряемого параметра. Значения параметра, принадлежащие шкале, могут использоваться либо для непосредственного отсчета параметра, либо в качестве исходных данных для вычисления его уточнённого значения. В этом, последнем, интересующем нас случае, проградуированную шкалу можно рассматривать как упорядоченную последовательность опорных значений параметра. Такую последовательность можно, с определённой точностью, описать какой-либо зависимостью, например, линейной, квадратичной и т. п.

Очевидно, что от того насколько точно известны опорные, принадлежащие шкале, значения параметра, напрямую зависит погрешность его вычисления. Эту погрешность относят к инструментальным погрешностям измерений.

Рассмотрим этот вид погрешности и алгоритмический способ её уменьшения [20] на примере акустооптического измерителя частоты (АОИЧ).

Сделаем необходимые пояснения. Напомним, что принцип действия АОИЧ основан на использовании имеющего место соответствия между частотой подаваемого на вход АОИЧ радиосигнала и пространственным положением на фотоприёмнике продифрагировавшего в дефлекторе АОИЧ светового сигнала. Пространственное положение распределения интенсивности светового сигнала (РИСС) измеряется и регистрируется фотодиодами фотоприёмника.

Ценное для практического использования свойство АОИЧ состоит в том, что существуют такие частоты входного сигнала, что между ними и пространственными положениями середин х_к к-х фотодиодов существует взаимно-однозначное соответствие. Оно проявляется в том, что при подаче на вход АОИЧ сигнала с частотой f_k, в точке х_к (или, что одно и то же, на выходе k-го фотодиода) регистрируется максимальный сигнал. При симметричной форме РИСС максимум светового сигнала расположен на его оси симметрии.

Частоты f_k, соответствующие k-м фотодиодам, можно рассматривать как упомянутые опорные значения измеряемого параметра или, в нашем случае, опорные значения частот. Эти частоты называют частотами точной настройки фотодиодов, а их упорядоченную последовательность называют кривой настройки (КН) АОИЧ.

В качестве фотоприёмников в современных АОИЧ используют линейки ПЗС, фотодиодные линейки и фотодиодные матрицы. Во всех этих устройствах ФД распределены эквидистантно по пространственной координате (длине) фотоприёмника. В связи с этим зависимость между порядковым номером к фотодиода и положением его центра х_к на оси х может быть представлена арифметической прогрессией:

где х₀ — пространственное положение середины фотодиода с нулевым номером; 8_Х — интервал между положениями середин соседних фотодиодов фотоприёмника (шаг фотодиодов); п — количество фотодиодов фотоприёмника.

Нелинейность реальной КН, как показывает анализ, можно объяснить следующими основными причинами.

1. Нелинейностью зависимости угла дифракции 0_d от частоты f, которая для изотропного варианта применяемого в АОИЧ дефлектора отображается в виде 9_tl =arcsin (X₀f/2V), а для анизотропного, например, в случае одноосного отрицательного кристалла (LiNbO?) 1571 — в виде 0_d = Роarcsin (A.₀f/(2VcosP₀)), где Х₀ — длина волны света лазера, V — скорость ультразвука, (3₍₎ — угол сноса светового пучка в плоскости дифракции.

2. Аберрациями входящего в состав АОИЧ Фурье-объектива с фокусным расстоянием F. которое в параксиальном приближении выбирается из условия , где AFj;- полоса рабочих частот АОИЧ, h — протяженность линейки фотодиодов. При этом погрешность Фурье-преобразоваиия [261, равная Af, = (h/F)tg0_d, увеличивается с ростом AF^ и h.

3. Погрешностями, связанными с неэквидистаитностыо расположения диодов в фотолинейках и матрицах (как, например, в фотоматрице ФПУ-14 и др.), неоднородностью распределения чувствительности как отдельных фотодиодов, так и по поверхности их фотоплощадок [56]. Последнее, неподдающееся контролю, распределение часто представляют в виде А (х, у)= (cos (roc/Ax)cos (7ty/Ay))^m, где Ах, Ду — размеры светочувствительной площадки (х = у = 0 соответствует её центру), a m выбирают в пределах от 1 до 3. Достаточно очевидно, что при вариации технологических параметров т, Ах, Ду и др., отождествить геометрический центр фотодиода по результатам оптических измерений не представляется возможным.

4. Погрешностями, связанными с конечной шириной линии излучения лазерного (полупроводникового) источника, асимметрией её формы, а также наличием в спектре излучения паразитных составляющих, уровень которых, как правило, изготовителями не регламентируется. Вторая из упомянутых особенностей, включающая, например, неодинаковость крутизны скатов линии излучения, а также разнящихся по интенсивности «крыльев» спектра не позволяет осуществить амплитудно-независимую привязку частотной шкалы АОИЧ заданному диапазону рабочих частот.

Существует, очевидно, два способа устранения или уменьшения рассматриваемой инструментальной погрешности, связанной с нелинейностью КН. Это линеаризация существующей КН аппаратурными средствами и замена реальной КН некой приближённой (аппроксимированной) КН. Последний способ может быть реализован алгоритмически. Суть его сводится к следующему:

• — измеряют реальную КН фотодиодов АОИЧ, при этом номера фотодиодов, для которых измеряют частоты точной настройки, выбирают с некоторым шагом, в общем случае неравномерным;
• — аппроксимируют реальную КН подходящей математической зависимостью и получают в результате приближённую (аппроксимированную) КН;
• — используют полученную КН для вычисления приближённой частоты настройки любого фотодиода фотоприёмника;
• — приближённые частоты настройки фотодиодов используют в алгоритмах вычисления частоты сигнала.

Эффективность изложенного алгоритмического способа уменьшения инструментальной погрешности была проверена экспериментально на макете АОИЧ, аналогичном описанному в [52].

В первой части эксперимента измерялась КН, состоящая из частот точной настройки фотодиодов. Номера kj фотодиодов, для которых измерялись частоты точной настройки, определялись выражением:

где N — количество измерений, k_s — номер начального фотодиода, а Дк — количество фотодиодов между соседними точками КН. В проведенном эксперименте: N = 47, k_s = 39, Дк = 20 .

Считалось, что частота сигнала соответствует частоте точной настройки фотодиода, если на соседних с ним фотодиодах регистрируются сигналы одинакового уровня.

Во второй части эксперимента были измерены 40 РИСС для равномерно распределённых в полосе АОИЧ частот сигнала. Частоты сигнала fj выбирались в соответствии с f_; =f_s+iAf (0Af =5 МГц, где f_s — начальная частота диапазона частот, М =39. Результаты этой части эксперимента использовались для оценки погрешностей измерения частоты.

На рис. 3.25 в координатах номер фотодиода — частота его точной настройки представлены две КН: измеренная (точки) и идеальная (прямая линия).

Под идеальной КН понималась линейная КН, начальная f_s и конечная f_e частоты точной настройки которой расположены в окрестностях нижней и верхней границ частотного диапазона АОИЧ. Частотный интервал 8f₀ между соседними частотами точной настройки и частота f_k точной настройки к-го фотодиода для этой КП вычисляются по формулам:

где k_s и к_с — номера фотодиодов, соответствующие частотам f_s и f_е .

Рис. 3.25.

Величина Sf₀ в исследуемом макете АОИЧ составила около 217 кГц. Относительная разность между частотами точной настройки реальной и идеальной КН на рис. 3.25 составляет доли процента. Поэтому для уточнения количественных соотношений и получения более детальной картины, на этом же рисунке представлен график разности Af_m идеальной и реальной КН (пунктир).

Характер этой графической зависимости позволяет говорить о существенной нелинейности реальной КН. Из-за нее отклонение реальной КН от идеальной (инструментальная погрешность) может превышать несколько интервалов 8f₍₎.

Кроме того, график разности КН — не гладкий, а осциллирующий. Эту особенность графика можно объяснить либо погрешностями измерения реальной КН, либо ее неравномерностью в диапазоне рабочих частот АОИЧ. В свою очередь неравномерность КН можно объяснить существующей на практике асимметрией РИСС (зависящей также и от частоты), из-за чего, как уже отмечалось, частота точной настройки фотодиода измеряется с погрешностью.

Для уменьшения инструментальной погрешности реальная КН была аппроксимирована степенным полиномом [58]:

Здесь f (k) — частота настройки фотодиода с номером к; р — степень полинома; а₍₎…а_р — коэффициенты полинома, определив которые, можно при помощи (3.60) вычислить приближённое значение частоты точной настройки кго фотодиода.

Эффективность аппроксимации иллюстрируется таблицей.

В ней приведены максимальная 6f_nux и среднеквадратическая c_f ошибка аппроксимации реальной КН для различных степеней полинома р. Из таблицы следует, что, начиная с р = 3—4, погрешности аппроксимации не уменьшаются, так что этими степенями полинома можно на практике и ограничиться.

Для сопоставления реальной и аппроксимированной КН на рис. 3.26 приведены графики, исходными данными для которых послужили измеренная КН (рис. 3.25) и соответствующая ей приближённая КН (3.60).

Графики представляют собой зависимости:

где k = k_s+iAk, (0_k — частота точной настройки k-го фотодиода.

Рис. 3.26

Как следует из (3.61), Sf_k — это усреднённое по количеству фотодиодов Дк значение приращения частоты точной настройки между фотодиодами, номера которых разнятся на Дк. Таким образом, Sf_k можно трактовать как усреднённый частотный интервал между соседними фотодиодами.

На этих графиках, в координатах номер фотодиода — частотный интервал между соседними фотодиодами, представлены пять зависимостей 5f_k. Все они отображают усреднённые частотные интервалы между соседними фотодиодами. Ступенчатая зависимость 5 вычислена по реальной КН, а зависимости 1−4 — по аппроксимированной КН, причем номер зависимости определяет и степень аппроксимирующего полинома р.

Анализ зависимости 3.61 показывает, что интервалы 8f_k для реальной КН варьируются в пределах 17 кГц относительно

Sf_k =217,173 кГц, соответствующего идеальной КН (линия 1); вариации составляют (+7,7; -9,3) кГц или (+3,6; -4,3)%. В целом, зависимость 5 несёт в себе информацию и о нелинейности реальной КН и о ее неравномерности.

Перейдём к анализу зависимостей 5f_k, вычисленных по приближённой КН. Частотные интервалы между соседними фотодиодами, в случае аппроксимации реальной КН полиномом 1-й степени, получаются одинаковыми (равными 217,75 кГц) и несколько увеличенными по сравнению с идеальным случаем. Однако это увеличение, как показывают оценки погрешностей измерения частоты, незначительно уменьшает погрешности.

Для полинома 2-й степени частотные интервалы 8f_k равномерно уменьшаются от 220 до 215 кГц. Такой учёт изменения реальных частотных интервалов точнее передаёт реальную картину, и как следствие, уменьшает погрешности вычисления частоты.

Графики 8f_k для 3-й и 4-й степеней полинома — нелинейны и отличаются незначительно. Они наилучшим образом передают реальную картину изменения частотных интервалов между фотодиодами. Эффект от их применения оказывается весьма существенным. Согласно этим графикам, частотные интервалы Sf_k плавно меняются по нелинейному закону в полосе рабочих частот АОИЧ.

На рис. 3.27, в координатах частота f сигнала — погрешность её вычисления, приведены графики погрешностей Af (f) — разности Af между вычисленными и истинными частотами сигнала.

Для сопоставления погрешностей и оценки эффективности замены измеренной КН (рис. 3.25) приближёнными, в алгоритмах вычисления частоты использовались частоты точной настройки, соответствующие КН (3.59), либо (3.60). Исходными данными для вычисления частоты в обоих случаях были РИСС, измеренные во второй части экспериментов. Для вычисления частоты использовался алгоритм [19] с искусственным формированием порогового уровня, который выбирался на уровне 0,7 от насыщения. В этом алгоритме значение частоты сигнала отождествляется с абсциссой точки, через которую проходит ось симметрии РИСС.

Графики погрешностей Af (f) на рис. 3.27 приведены для идеальной КН (линия 5) и приближённых КП (линии 1−4) при различной степени аппроксимирующего полинома р, равной номеру графика.

Рис. 3.27

Сопоставление приведенных графиков позволяет говорить о том, что предлагаемый алгоритмический способ уменьшения инструментальных погрешностей несомненно эффективен.

Очевидно, что игнорирование расхождений между реальной и идеальной КН может привести к существенным инструментальным погрешностям измерений — в нашем случае они составили около трех междиодных частотных интервала Sf. Сравнение графика погрешностей для идеальной КН с практически идентичным ему графиком инструментальных погрешностей на рис. 3.25 позволяет утверждать, что основной причиной погрешностей измерений являются именно инструментальные погрешности.

Другой очевидный вывод состоит в том, что использование вместо реальной КН её приближения выражением (3.60), а именно полиномом степени выше 2-й, может существенно (в нашем случае на порядок) уменьшить погрешность вычисления частоты.

3.3.4. Калибровка частотной шкалы

В подразд. 3.3.1 говорилось о полезности калибровки частотной шкалы высокостабильным генератором (синтезатором). Рассмотрим возможность такой калибровки, когда на КН оказывает влияние не только температура, но и множество описанных в подразд. 3.3.3 факторов.

Для наглядной демонстрации построим график частотной погрешности 6f в зависимости от номера фотодиода к в случае, когда нелинейность кривой настройки определяется, например, нелинейным характером зависимости угла дифракции 9^ от частоты f.

В этом случае КН можно описать выражением 11, 21 ]:

где х_к и к связаны посредством (3.56); f₀ — центральная частота диапазона (ей соответствует координата х_к = 0); Хо — длина волны света; F — фокус Фурье-объектива; V — скорость акустической волны.

Если для вычисления частоты кривую настройки аппроксимировать прямой f_A(x_k)= ax_k + b, которая совпадает с (3.62) на краях диапазона, зависимость Sf (k) = f (k)-f_A(k) будет иметь вид, показанный на рис. 3.28.

На этом рисунке погрешность вычислена в процентах от текущей частоты f для значений параметров АОИЧ: k_u = 657 нм, V=3600 м/с, 1)) = 1500МГц, F=50 мм, n= 1001 в намеренно (для большей наглядности) широком диапазоне х_к= ±10 мм.

Из рис. 3.28 видно, что погрешность отсутствует всего в двух точках — на краях диапазона. Иными словами, КН «откалибрована» по двум крайним частотам.

Аппаратурно, привязка к этим двум частотным точкам (калибровка) может быть произведена введением в состав АОИЧ источника опорного бигармонического сигнала и применением одного из алгоритмов вычисления номеров фотодиодов, например, описанного в [59]. Здесь совершенно не учитывается нелинейность кривой настройки, а ошибка в единицы процентов на рабочих частотах в 1−2 ГГц в абсолютном выражении означает погрешности в десятки МГц (при разрешающей способности единицы МГц).

Рис. 3.28.

Для решения задачи минимизации погрешностей во веем рабочем диапазоне АОИЧ можно как и в подразд. 3.3.3 аппроксимировать реальную КН, но не полиномами, а отрезками прямых (т.е. ломаной линией), соединенных между собой в узлах аппроксимации [22]. Физически этими узлами являются опорные частоты калибровочного генератора. При этом вся кривая настройки равномерно разбивается узлами аппроксимации на (R-1) участок. Всего узлов аппроксимации (или опорных сигналов) R и каждый из них (за исключением крайних) является общей точкой и для кривой настройки, и для двух соседних аппроксимирующих отрезков. Очевидно, что в узлах погрешность нулевая.

Для каждого j-ro узла аппроксимации (где 1 < j < R) при помощи одного из алгоритмов [19,59] находятся «номера» фотодиодов к, которые в общем случае являются нецелыми величинами, так как узловые (опорные) частоты fj не обязательно совпадают с частотами настройки фотодиодов («центры» РИСС на этих частотах в основном приходятся не на центры ФД).

Интервалы по частотной оси между соседними узлами аппроксимации могут быть неодинаковыми [22]. Они могут выбираться так, чтобы в пределах j-ro интервала нелинейную кривую настройки можно было бы линеаризовать с требуемой частотной погрешностью.

После линеаризации всех участков кривой настройки частотные интервалы Дfj между соседними фотодиодами считаются постоянными, и, следовательно, в пределах j-ro интервала, т. е. в полосе частот fj-fj+i, можно пользоваться линейной формулой.

обеспечивающей, если пренебречь погрешностями линеаризации и определения «номеров» узловых ФД, точное вычисление частот f.

Очевидно, что точность измерения частоты в рассматриваемом случае должна быть выше, поскольку в результатах вычислений снижены погрешности, связанные с нелинейностью кривой настройки.

Сказанное иллюстрируется рис. 3.29, где представлены графики погрешностей при различном количестве узлов аппроксимации R.

Рис. 3.29.

Из рисунка видно, что с увеличением количества (R-1) аппроксимирующих интервалов график погрешности все чаще «осциллирует» у нулевой линии, совпадая с ней в узлах, а «амплитуда» (максимум погрешности) его при этом заметно падает.

Оценить зависимость максимальной погрешности от числа узлов аппроксимирующей функции позволяет рис. 3.30 (расчетная кривая показана сплошной линией, отсчет ее значений ведется по левой оси). Из рисунка видно, что для снижения 8f на порядок по сравнению с аппроксимацией КН обычной прямой (R=2) достаточно 5−6 узлов. Расчетный график стремится к нулю при устремлении R к бесконечности.

Рис. 3.30.

Экспериментальная оценка предложенного способа выполнялась на макете АОИЧ, аналогичном описанному в [52], в котором для каждой из задаваемых высокостабильным СВЧ-генерагором частот производилась 12-битовая оцифровка амплитуд сигналов с каждой из 1024 фотоприемных ячеек ПЗС-линейки. При помощи разработанного программного обеспечения производился вывод данных (посредством USB-интерфсйса) в компьютер и формирование РИСС в виде текстовых файлов. Каждый файл содержал 1024-элементный вектор-столбец кодов АЦП. Всего в рабочем диапазоне 1,5−2,0 ГГц было сформировано для 501 частоты (с шагом 1 МГц) генератора аналогичное количество распределений, часть из которых при последующей обработке могла быть использована в качестве «узловых», а оставшиеся — в качестве промежуточных.

Результаты экспериментальной оценки погрешности измерения частоты представлены на рис. 3.31, а экспериментальная зависимость погрешности от количества узлов аппроксимации — на рис. 3.30 точками и пунктиром (значения отсчитываются по правой оси).

Рис. 3.31.

Из рис. 3.31 следует, что величина инструментальной погрешности в эксперименте также быстро снижается с увеличением числа узлов (опорных частот), но снижается она не до нуля, а до некоторого остаточного уровня (см. пунктирный график на рис. 3.30). Наличие этой остаточной погрешности объясняется тем, что на практике, помимо нелинейности кривой настройки, существует еще ряд влияющих факторов: асимметрия светового пятна на фотоприемнике, ее зависимость от частоты и уровня сигнала, неравномерность АЧХ и др.

Пилообразность графика определяется алгоритмической погрешностью, а также дискретностями фотоприемника и шага частот генератора. В данном случае использовался простейший из алгоритмов определения номера фотодиода, описываемый (3.55). Размах алгоритмической погрешности не превышает здесь величины частотного интервала между соседними фотодиодами Д = 540 кГц и при отсутствии инструментальной погрешности график представлял бы собой осциллирующую вокруг нуля «пилу» амплитудой 0.5Д.

Поскольку вклад вызванных разными причинами инструментальных погрешностей на результирующую погрешность измерения частоты может оказаться значительным, то целесообразно включить оценку величины этих погрешностей в методику регулировки разрабатываемых и изготавливаемых АОП. Предложенные алгоритмы могут быть рекомендованы к практическому использованию в широкополосных высокоточных АОП.