Входное сопротивление отрезка однородной длинной линии

Найдем комплексное сопротивление Z отрезка однородной длинной линии, нагруженного со стороны зажимов 2 — 2' на произвольное сопротивление ZH:

Из выражения (8.59) непосредственно следует уже известное свойство однородной линии, заключающееся в том, что при согласованной нагрузке Z" = Z, входное сопротивление линии равно волновому и не зависит от длины линии. При Z" ^ Z_B входное сопротивление линии сложным образом зависит от ее длины, частоты внешнего воздействия и соотношения между Z, и Z_B.

Рассмотрим наиболее важные для практики случаи, когда сопротивление нагрузки линии со стороны зажимов 2 — 2' равно нулю (режим короткого замыкания на выходе) или бесконечности (режим холостого хода на выходе). Полагая в соотношении (8.59) Z" = 0, находим выражение для комплексного входного сопротивления линии в режиме короткого замыкания на выходе:

Для линии без потерь

Из выражения (8.61) следует, что вещественная составляющая комплексного входного сопротивления отрезка длинной линии без потерь в режиме короткого замыкания на выходе равна нулю, а мнимая составляющая.

является периодической функцией электрической длины отрезка длинной линии 1/Х и может принимать любые значения.

Рис. 8.9. Зависимость мнимой составляющей комплексного входного сопротивления линии без потерь от электрической длины линии:

а — режим короткого замыкания; б — режим холостого хода отоо до оо (рис. 8.9, о). При 0 < 1/Х < ¼ входное сопротивление линии имеет индуктивный характер; при 1/Х =¼ оно бесконечно велико; при ¼ < 1/Х <½ входное сопротивление линий имеет емкостный характер, а при 1/Х =½ оно равно нулю. Как очевидно из рис. 8.9, а, увеличение 1/Х на величину, кратную ½, не изменяет входного сопротивления отрезка однородной линии без потерь.

Электрическая длина линии зависит как от физической длины линии /, так и от частоты внешнего воздействия /. Для линии без потерь электрическая длина прямо пропорциональна частоте:

поэтому зависимость мнимой составляющей комплексного входного сопротивления отрезка длинной линии без потерьх_к от электрической длины отрезка имеет такой же характер, как и зависимость х_к от частоты внешнего воздействия /, и отличается только масштабом изображения, но оси абсцисс.

Так, входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии без потерь имеет индуктивный характер на частогах 0 </< 1/(4/Л^/С,), при которых электрическая длина линии меньше ¼, и емкостный характер на частотах i/(4/vz^c;) </, при которых электрическая длина лежит в пределах от ¼ до ½. В окрестностях частот f_n = (2п + 1)/(4/V/l₁/C₁), где п = 0, 1, 2, на которых длина отрезка линии кратна нечетному числу четвертей длин волн, АЧХ и ФЧХ комплексного входного сопротивления короткозамкнутого отрезка длинной линии подобны соответствующим характеристикам параллельного колебательного контура, а в окрестностях частот/* = k/(2Nl_x/C_x), где k = 1,2,3,…, па которых длина отрезка линии кратна четному числу четвертей длин волн, короткозамкнутый отрезок ведет себя подобно последовательному колебательному контуру.

В режиме холостого хода на выходе комплексное входное сопротивление отрезка длинной линии определяется выражением.

Как и в режиме короткого замыкания на выходе, комплексное входное сопротивление отрезка длинной линии без потерь в режиме холостого хода на выходе имеет чисто мнимый характер

и является периодической функцией электрической длины линии (рис. 8.9, б). Из сравнения рис. 8.9, а, 6 очевидно, что электрические характеристики разомкнутого на конце отрезка линии длиной / совпадают с электрическими характеристиками короткозамкнутого на конце отрезка линии длиной /+У4.

Рассмотренные свойства короткозамкнутых и разомкнутых отрезков длинных линий позволяют использовать их в качестве колебательных систем в диапазоне сверхвысоких частот, когда добротность колебательных контуров, составленных из дискретных индуктивных катушек и конденсаторов, становится низкой. В отличие от колебательных систем с сосредоточенными параметрами число резонансных частот в колебательных системах с распределенными параметрами бесконечно велико.

Короткозамкнутые отрезки линий широко используются также в качестве реактивных шлейфов, т. е. устройств, подключаемых параллельно какому-либо участку цепи для компенсации мнимой составляющей его входной проводимости. Изменяя длину короткозамкнутого отрезка в пределах от О до Х/2, можно добиться того, чтобы мнимая составляющая входной проводимости шлейфа была равна по абсолютному значению и противоположна по знаку мнимой составляющей входной проводимости параллельно включенного участка цепи. При этом суммарное входное сопротивление участка цепи вместе с шлейфом имеет чисто резистивный характер.

Учитывая, что входное сопротивление короткозамкнутого отрезка длиной Х/4 бесконечно велико, его можно использовать в качестве «металлического изолятора» для подвески или крепления основной линии передачи.

В связи с тем, что комплексное входное сопротивление отрезка длинной линии в общем случае не равно сопротивлению нагрузки, отрезки линий обладают способностью трансформировать сопротивления. Наиболее интересны в этом отношении свойства отрезков линий без потерь длиной Х/2, Х/4 и Х/8.

Полагая в выражении (8.59) сначала у/ = /р/ = j2nl/X и Z_B = R_B = Vl,/C,.

а затем 1/Х = ½, устанавливаем, что комплексное входное сопротивление отрезка линии без потерь длиной Х/2 равно сопротивлению нагрузки. Следовательно, этот отрезок линии как бы повторяет сопротивление нагрузки, т. е. ведет себя подобно идеальному трансформатору с коэффициентом трансформации п = 1.

Подставляя в выражение (8.63) 1/Х = ¼, находим, что входное сопротивление отрезка линии без потерь длиной Х/4

пропорционально проводимости нагрузки и может изменяться в широких пределах при изменении волнового сопротивления линии. Следовательно, отрезок линии длиной Х/4 {четвертьволновый трансформатор) может преобразовывать большое сопротивление в малое, и наоборот. В предельных случаях входное сопротивление четвертьволнового трансформатора равно нулю при бесконечно большом сопротивлении нагрузки (рис. 8.9,6) и равно бесконечности при коротком замыкании на выходе (рис. 8.9, а). Из выражения (8.64) следует, что если сопротивление нагрузки имеет чисто резистивный характер, то и входное сопротивление четвертьволнового трансформатора имеет чисто резистивный характер.

Как очевидно из сравнения выражений (7.131) и (8.64), отрезок LC-линии длиной Х/4 представляет собой идеальный инвертор сопротивления с коэффициентом инверсии К =.

^в*.

Из выражения (8.63) можно найти также входное сопротивление отрезка без потерь длиной Х/8

Если сопротивление нагрузки имеет чисто резистивный характер (Z" = R_n), то модули числителя и знаменателя дроби, входящей в выражение (8.65), одинаковы и, следовательно, модуль входного сопротивления рассматриваемого отрезка линии равен R_u. Таким образом, отрезок линии длиной Х/8 преобразует произвольное резистивное сопротивление в сопротивление, модуль которого равен R_B. Аналогичными свойствами обладает отрезок линии без потерь длиной 3 Х/8.

Трансформирующие свойства отрезков длинных линий широко используются на практике для построения устройств согласования реальных линий передачи с нагрузкой. В результате согласования в линии передачи устанавливается режим, близкий к режиму бегущих волн, при этом практически вся передаваемая линией энергия потребляется нагрузкой, а потери энергии, связанные с многократным прохождением отраженных волн вдоль линии, значительно уменьшаются.

Если сопротивление нагрузки реальной линии передачи с малыми потерями имеет чисто резистивный характер, то для согласования линии с нагрузкой можно применить четвертьволновый трансформатор, включенный между линией и нагрузкой (рис. 8.10, а). Погонные параметры отрезка линии, используемого в качестве четвертьволнового трансформатора, выбирают таким образом, чтобы волновое сопротивление трансформатора R_{B тр} было равно среднему геометрическому из волнового сопротивления основной (согласуемой) линии R_n0 и сопротивления нагрузки R_H:

В этом случае входное сопротивление четвертьволнового трансформатора в точках 1 — Г будет равно R_u0, и в основной линии установится режим, близкий к режиму бегущих волн. Отрезок линии, используемый в качестве четвертьволнового трансформатора, при этом находится в режиме смешанных волн, однако вследствие малой длины трансформатора потери энергии в нем незначительны.

Рис. 8.10. Согласование линии с нагрузкой с помощью четвертьволнового трансформатора.

Если сопротивление нагрузки линии имеет комплексный характер, то согласующий трансформатор подключают не в непосредственной близости к нагрузке, а на некотором расстоянии /о от нее, выбранном таким образом, чтобы входное сопротивление нагруженного участка линии в сечении 2 — 2' имело чисто резистивный характер (рис. 8.10, 6). Неудобство рассмотренного метода согласования заключается в необходимости изготовления специального отрезка линии, волновое сопротивление и, следовательно, погонные параметры которого должны отличаться от волнового сопротивления и погонных параметров согласуемой линии.

Этого недостатка лишен разработанный В. В. Татариновым метод согласования с помощью одного или двух реактивных шлейфов, конструктивно представляющих собой отрезки длинных линий того же типа, что и согласуемая линия (рис. 8.11).

В первом случае расстояние от места подключения шлейфа до точки подключения нагрузки /₀ (рис. 8.11, а) выбирают таким образом, чтобы вещественная составляющая входной проводимости линии в сечении 1 — Г была равна 1 /R_B:

Рис. 8.11. Согласование линии с нагрузкой с помощью одного (а) или двух (б) реактивных шлейфов, а длину шлейфа 1 — так, чтобы входная проводимость шлейфа 7_|М равнялась -jb. Очевидно, что при этих условиях эквивалентное сопротивление нагрузки основной линии в точках 1 — Г будет равно волновому сопротивлению линии R_B:

Во втором случае (рис. 8.11, б) расстояние между шлейфами /₀ выбирают равным Х/8 или ЗХ/8, длина первого шлейфа /[ подбирается так, чтобы в точках 1 — Г выполнялось условие (8.66), а длина второго шлейфа /₂ — так, чтобы компенсировать мнимую составляющую 7ц.