Электрические фильтры. 
Теория электрических цепей

Классификация электрических фильтров.

Электрические цени, предназначенные для выделения колебаний, лежащих в определенном диапазоне частот, называются электрическими фильтрами. Диапазон частот, пропускаемых фильтром, называется полосой прозрачности или полосой пропускания. Остальная область частот, подавляемая фильтром, называется полосой задерживания или полосой непрозрачности.

В соответствии с диапазоном частот, пропускаемых фильтром, различают фильтры: нижних частот (полоса пропускания от 0 до некоторой частоты /_с, называемой частотой среза), верхних частот (полоса пропускания от частоты /_с до оо), полосовые (полоса пропускания от/_сЛ до /_С2) и заграждающие (полоса задерживания от /_с1 до /_с2). Амп

Рис. 7.49. АЧХ идеальных фильтров:

а — нижних частот; б — верхних частот; в — полосового; г — задерживающего литудно-частотныс характеристики коэффициента передачи по напряжению идеальных фильтров приведены на рис. 7.49.

В зависимости от типов входящих в них элементов электрические фильтры подразделяют на реактивные (/Х'-фильтры), резистивно-емкостные (АХ'-фильтры), активные (ARC- фильтры), а также фильтры, использующие различные физические эффекты в твердых телах (пьезоэлектрические, магнитострикционные, а кустооптические и т. п.). Кроме того, электрические фильтры классифицируются по способу соединения элементов (по типу звеньев), числу звеньев, виду математических функций, аппроксимирующих частотные характеристики фильтра (фильтры Чебышева, Баттерворта, Золотарева, Бесселя и др.), а также по тину параметров, применяемых при расчете фильтра (фильтры по характеристическим и рабочим параметрам).

В течение длительного времени в различных радиоэлектронных устройствах использовались в основном реактивные фильтры, методам расчета которых посвящена обширная литература. В настоящее время эти фильтры почти не применяются на практике, однако теория таких фильтров не утратила прикладного значения в связи с тем, что при построении многих типов современных фильтров, в частности активных фильтров с преобразователями сопротивления, цифровых фильтров, фильтров с переключаемыми конденсаторами, реактивные фильтры используются в качестве прототипов.

Реактивные фильтры. Рассмотрим основные свойства реактивных фильтров, т. е. фильтров, составленных только из индуктивных катушек и конденсаторов с высокой добротностью. При упрощенном анализе процессов в таких фильтрах потерями в их элементах, как правило, пренебрегают, поэтому в схеме замещения реактивного фильтра содержатся только идеализированные реактивные элементы — емкости и индуктивности.

Реактивные фильтры можно выполнять путем согласованного каскадного соединения отдельных звеньев. Фильтры, построенные по такому принципу, относятся к фильтрам по характеристическим параметрам. Простейший тип звена — Г-образное, представляет собой Г-образный четырехполюсник с Пили Т-входом. При согласованном каскадном соединении таких звеньев получаются симметричные ГТили Т-образные звенья. Как было показано в примере 7.25, характеристическое сопротивление симметричного П-образного четырехполюсника (см. рис. 7.24, а) равно характеристическому входному сопротивлению Г-образного четырехполюсника с П-входом, а характеристическое сопротивление симметричного Т-образного четырехполюсника (см. рис. 7.24, в) — характеристическому входному сопротивлению Г-образного четырехполюсника с Т-входом.

Характеристические постоянные передачи Ти П-образных симметричных четырехполюсников одинаковы и равны удвоенной характеристической постоянной Г-образного звена (см. пример 7.25):

или.

Если фильтр образован путем согласованного каскадного соединения N идентичных симметричных звеньев, то коэффициент передачи фильтра по напряжению равен произведению коэффициентов передачи отдельных звеньев (7.108), а АЧХ-фильтра определяется зависимостью постоянной ослабления каждого звена от частоты, А (оо) = А = Re[ Г|:

Из выражения (7.145) следует, что для обеспечения близости АЧХ-фильтра к характеристикам идеальных фильтров необходимо, чтобы в полосе пропускания постоянная ослабления каждого звена была равна нулю, а в полосе задерживания имела по возможности большее значение, причем условия согласования фильтра должны выполняться хотя бы в полосе пропускания. Исходя из этих соображений, рассмотрим требования, которые должны предъявляться к выбору сопротивлений продольной Z_{ и поперечной Z₂ ветвей Пи Т-образных звеньев реактивных фильтров.

В соответствии с принятыми допущениями будем считать, что сопротивления Z_t и Z₂ имеют чисто реактивный характер Z = jxj, Z₂ = jx_2f вследствие чего ch Г = 1 + Z/(2Z₂) должен быть вещественной величиной. Учитывая, что.

уравнение (7.144) можно заменить равносильной ему системой уравнений с вещественными коэффициентами:

В пределах полосы пропускания постоянная ослабления А должна быть равна нулю:

при этом постоянная фазы В будет изменяться по закону:

За пределами полосы пропускания А ^ 0 и, следовательно,.

В связи с тем, что cos В по абсолютному значению не может превышать единицу, соотношение между сопротивлениями Z и Z₂ в пределах полосы пропускания должно удовлетворять условию -1 < 1 + Х/(2х₂) < 1, которое можно преобразовать к виду

Неравенство (7.150) называется условием прозрачности фильтра.

Очевидно, что для выполнения условия прозрачности, т. е. для обеспечения в определенном диапазоне частот равенства нулю постоянной ослабления А фильтра, необходимо, чтобы мнимые составляющие сопротивлений Z и Z₂ имели различные знаки или чтобы сопротивления продольной и поперечной ветвей фильтра имели различный характер.

Предельные значения частоты, на которых выполняются условия прозрачности фильтра, являются границами полосы пропускания (частотами среза). На этих частотах сопротивления продольной и поперечной ветвей фильтра связаны соотношениями:

или.

Таким образом, на одной из частот среза сопротивление продольной ветви фильтра должно быть равно нулю, а на другой полное сопротивление Z продольной ветви должно быть в четыре раза больше, чем полное сопротивление Z₂ поперечной ветви.

Рассматривая выражения для характеристических сопротивлений Пи Т-образных четырехполюсников (см. пример 7.25) с учетом неравенств (7.150), устанавливаем, что в пределах полосы пропускания характеристические сопротивления как П-, так и Т-образного звеньев имеют чисто резистивный характер, а за пределами полосы пропускания — чисто реактивный.

Таким образом, условия, при которых постоянная ослабления Л — 0 (7.150), совпадают с условиями, при которых характеристическое сопротивление фильтра имеет вещественный характер.

В связи с тем, что характеристические сопротивления симметричных Пи Т-образных звеньев совпадают с характеристическими входным и выходным сопротивлениями Г-образного звена, а характеристическая постоянная передачи Пи Т-образных звеньев равна удвоенной характеристической постоянной передачи Г-образного звена, полосы пропускания Г-, Пи Т-образных звеньев при одних и тех же значениях сопротивлений Z и Z₂ одинаковы, а постоянная ослабления и постоянная фазы Г-образного звена вдвое ниже, чем соответствующие постоянные Тили П-образных звеньев.

Пусть параметры элементов, образующих продольную и поперечную ветви Г-образного звена, выбраны таким образом, что произведение комплексных сопротивлений ветвей не зависит от частоты и равно квадрату некоторого вещественного числа k:

Очевидно, что в этом случае произведение характеристических входного и выходного сопротивлений Г-образного звена, как и произведение характеристических сопротивлений Пи Т-образных звеньев, также равно к²:

Реактивные фильтры, собранные из звеньев, параметры элементов которых удовлетворяют условию (7.151), называются фильтрами типа k (рис. 7.50).

Подставляя выражение (7.151) в неравенство (7.150), находим условие прозрачности фильтров типа к

или.

В пределах полосы пропускания постоянная ослабления Пили Т-образного звена фильтра типа k равна нулю, а за пределами полосы пропускания плавно нарастает в соответствии с выражением сЬЛ = |1 + &²/(2Zf)| = |1 + Z/{2k²). Характеристические сопротивления Пи Т-образных звеньев тина k определяются соотношениями.

Как следует из выражений (7.152), в пределах полосы пропускания характеристическое сопротивление Т-образного.

Рис. 7.50. Схемы Г-образных звеньев фильтров тина к:

а — нижних частот; 6 — верхних частот; в — полосового; г — задерживающего звена фильтра типа k изменяется от 0 до k, а характеристическое сопротивление П-образного звена — от k до оо.

Характер зависимости от частоты постоянной ослабления А и постоянной фазы В реактивного фильтра нижних частот типа k при согласованной нагрузке показан на рис. 7.51, а. Сравнительно медленное нарастание постоянной ослабления за пределами полосы пропускания и ярко выраженная зависимость характеристического сопротивления от частоты в пределах этой полосы являются существенными недостатками фильтров типа k. При согласованном каскадном соединении большого числа звеньев ослабление фильтра типа k в полосе задерживания может быть значительно увеличено, однако зависимость характеристического сопротивления фильтра от частоты не позволяет согласовывать фильтр в пределах всей полосы пропускания, вследствие чего характеристики реальных фильтров типа k значительно отличаются от рассмотренных.

Недостатки фильтров типа k в некоторой степени устраняются в фильтрах типа т. Для построения такого фильтра сопротивления продольной и поперечной ветвей фильтра типа k, называемого прототипом, изменяют таким образом, чтобы одно из характеристических сопротивлений полученного звена в пределах полосы пропускания почти не зависело от частоты, а другое — оставалось равным соответствующему характеристическому сопротивлению прототипа. Равенство одного из характеристических сопротивлений Г-образного звена фильтра типа т характеристическому сопротивлению прототипа позволяет каскадно соединять звенья обоих типов.

Различают последовательно-производные и параллельно-производные звенья фильтров типа т. Если при постро;

Рис. 7.51. Частотные зависимости постоянной ослабления и постоянной фазы реактивных фильтров нижних частот при согласованной нагрузке

а — типа k; б — типа т

Рис. 7.52. Последовательно-производное (я) и параллельно-производное (б) звенья фильтров типа т.

ении фильтра типа т неизменным остается характеристическое сопротивление Z_T, то получившиеся звенья называются последовательно-производными. Если при переходе от фильтра типа k к фильтру типа т остается неизменным характеристическое сопротивление Z_n, то звенья называются параллельно-производными (рис. 7.52).

Характеристики фильтра типа т в значительной степени зависят от выбора значения коэффициента т, которое может изменяться в пределах от 0 до 1. Полоса пропускания рассматриваемого фильтра совпадает с полосой пропускания прототипа, причем за пределами полосы пропускания постоянная ослабления фильтра типа т увеличивается более круто и достигает на отдельных частотах значительно больших значений, чем у соответствующего фильтра типа k (см. рис. 7.51, б).

В связи с тем, что исходные предпосылки о согласованном включении фильтра не выполняются даже в пределах полосы пропускания, а свойства фильтров по характеристическим параметрам значительно отличаются от расчетных, фильтры по характеристическим параметрам в настоящее время практически полностью вытеснены фильтрами по рабочим параметрам.

Фильтры по рабочим параметрам могут строиться по тем же схемам, что и звенья фильтров по характеристическим параметрам (см. рис. 7.50 и 7.52), однако параметры отдельных элементов находят, исходя из заданных требований к рабочим параметрам фильтров.

Активные фильтры. Активными называются электрические фильтры, в состав которых наряду с пассивными входят также усилительные или невзаимные элементы. Наибольшее распространение получили активные /?С-фильтры (А/?С-фильтры), которые не содержат индуктивных элементов и могут быть реализованы в виде интегральных микросхем. Теория активных 7? С-фильтров является одним из наиболее важных и быстро развивающихся направлений современной радиоэлектроники, значительный вклад в развитие которого внесли А. А. Айзинов, А. Ф. Белецкий, А. Е. Знаменский, П. А. Ионкин, Е. И. Куфлевский, А. А. Ланне, В. Г. Миронов, Г. Н. Славский и многие другие.

Известно множество различных разновидностей активных /?С-фильтров, отличающихся в основном типом используемых невзаимных элементов. Наибольшее распространение получили А7? С-фильтры на основе усилителей с конечным усилением, операционных усилителей и преобразователей сопротивления.

Для ознакомления с характеристиками А7? С-фильтров, построенных на основе усилителей с конечным усилением, найдем операторный коэффициент передачи по напряжению А7? С-цепи, схема которой приведена на рис. 7.53, а.

Уравнения баланса токов для узлов а и b этой цепи имеют вид.

Принимая во внимание, что = KU^(j))_y и исключая из уравнений (7.153) напряжения внутренних узлов U₃(p) и и_л(р), получаем.

Рис. 7.53. Схема активного фильтра нижних частот на основе усилителя с конечным усилением (а) и его нормированная АЧХ (б).

откуда.

Нетрудно убедиться, что в зависимости от значения коэффициента усиления К передаточная характеристика цепи (7.154) может иметь или вещественные, или комплексносопряженные полюсы. Заменяя р наусо, находим выражение для АЧХ коэффициента передачи цепи по напряжению:

где.

Анализ выражения (7.155) показывает, что рассматриваемая цепь обладает характеристиками фильтра нижних частот (рис. 7.53, б), причем при малых значениях параметра d частотная характеристика цепи имеет выброс, максимум которого соответствует значениям нормированной частоты со, близким к единице.

Примеры схем фильтра верхних частот и полосового фильтра, построенных на основе усилителей с конечным усилением, приведены на рис. 7.54, а, б.

Схема активного фильтра нижних частот, использующего ОУ, изображена на рис. 7.55.

Составляя уравнения баланса токов для узлов а и b этой цепи, получаем.

Рис. 7.54. Схемы активных фильтров на основе усилителей с конечным усилением:

а — верхних частот; б — полосового.

Рис. 7.55. Схема активного фильтра нижних частот на основе идеального ОУ.

откуда

Выражение (7.156) имеет такую же структуру, как и выражение (7.154), следовательно, данная цепь действительно обладает характеристиками фильтра нижних частот.

Активные фильтры на основе преобразователей сопротивления (конверторов отрицательного сопротивления и гираторов) могут быть построены по каскадной или каскадно-параллельной схеме. В первом случае (рис. 7.56, а) преобразователь сопротивления (ПС) включен каскадно с двумя пассивными.

Рис. 7.56. Каскадная (а) и каскадно-параллельная (б) схемы активных фильтров на основе преобразователей сопротивления ПС ДС-цепями: RC (a) и RC (b). Во втором случае (рис. 7.56, б) пассивная Л¹ С-цепь — RC (b) — включена параллельно четырехполюснику, представляющему собой каскадное соединение преобразователя сопротивления ПС и пассивной ДС-цепи — ДС (я).

Пример 7.32. Убедимся, что, А ДС-цеиь, схема которой приведена на рис. 7.57, обладает характеристиками фильтра нижних частот.

Рис. 7.57. К примеру 7.32.

Данная цепь представляет собой каскадное соединение трех четырехполюсников: гиратора и двух пассивных й6'-цепей. Перемножая матрицы A-параметров пассивных Д С-цепей.

и матрицу /1-параметров гиратора А, (7.137) в гаком порядке, как соответствующие элементарные четырехполюсники расположены па схеме рис. 7.57, находим матрицу А-параметров исследуемой цепи:

Выражение для операторного коэффициента передачи этой цепи в режиме холостого хода на выходе.

имеет ту же структуру, что и выражения (7.154), (7.156). Следовательно, рассматриваемая цепь обладает характеристиками фильтра нижних частот.

Способность гиратора имитировать индуктивные катушки предоставляет еще одну возможность построения безындуктивных фильтров — путем замены индуктивностей, входящих в реактивные фильтры, их гираторными эквивалентами. Фильтры такого типа получили название фильтров с имитированными индуктивностями.

Анализируя схемы реактивных фильтров (см. рис. 7.50), нетрудно установить, что в них встречаются индуктивности двух типов: «заземленные», один из выводов которых подключен к общему проводнику, и «незаземленные» или плавающие, ни один из выводов которых не подключен непосредственно к общему проводнику. Наиболее просто с помощью гираторов имитируются «заземленные» индуктивности (рис. 7.58, б), которые замещаются гиратором с емкостной нагрузкой (рис. 7.58, а), входное сопротивление которого определяется выражением (7.143).

Схема Г-образного звена фильтра верхних частот, полученного из реактивного фильтра (см. рис. 7.50, 6) путем замены индуктивности 2L ее гираторным эквивалентом, приведена на рис. 7.59.

Для имитации «незаземленных» индуктивностей используется цепь с двумя гираторами, схема которой приведена на рис. 7.60, а.

Сравнивая матрицу /1-параметров данной цепи.

с матрицей А-параметров «незаземленной» индуктивности (рис. 7.60, 6)

убеждаемся, что рассматриваемая цепь (см. рис. 7.60, а) действительно имитирует «незаземленную» индуктивность.

Рис. 7.58. Имитация «заземленной» индуктивности.

Рис. 7.59. Звено фильтра верхних частот с имитированной индуктивность.

Рис. 7.60. Имитация «незаземленной» индуктивности.

Ь_ж = C/g². Схема Г-образного звена фильтра нижних частот, полученная из рис. 7.50, а путем замены индуктивности ½ ее гираторным эквивалентом, приведена на рис. 7.61.

В отличие от реальных индуктивных катушек в гираторных эквивалентах индуктивности (см. рис. 7.58, б и 7.60, б) не происходит запасания энергии магнитного поля. Эти цепи аналогичны индуктивности только в том смысле, что фазовые соотношения между токами и напряжениями на их входных зажимах имеют такой же характер, как на зажимах индуктивных катушек, и, следовательно, входные сопротивления этих цепей имеют индуктивный характер.

Рис. 7.61. Звено фильтра нижних частот с имитированной индуктивностью.

Вопросам анализа и проектирования активных RC-фильтров по рабочим параметрам посвящена обширная литература [14—16], в которой приводятся многочисленные варианты схемной реализации фильтров и содержатся таблицы и номограммы, облегчающие выбор параметров элементов фильтров и расчет их характеристик.