Интерполяционный многочлен Ньютона. 
Итерационные уравнения

Задачи

Задание 1

Осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона исходных данных из табл.1 вычислить значение интерполяционного полинома в точке .

Таблица 1

Решение Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде

— конечная разность первого порядка

— конечная разность К-го порядка.

Таблица конечных разностей для экспериментальных данных:

.

Задание 2

Уточнить значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления.

[0,4].

Решение Вычислим первую и вторую производную функции. Получим и .

Итерационное уравнение запишется так:

.

В качестве начального приближения возьмем правый конец отрезка. Проверяем условие сходимости:. Условие сходимости метода Ньютона выполнено.

Таблица значений корня уравнения:

Уточненное значение корня .

В качестве оценки абсолютной погрешности полученного результата можно использовать величину .

Задание 3.

Методами треугольников, трапеций и Симпсона вычислить определенный интеграл.

Решение Метод прямоугольников Значение интеграла на интервале определяется следующей формулой:

Значение интеграла: .

Метод трапеций Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая равна расстоянию между точками по оси х. интеграл равен сумме площадей всех трапеций.

интерполяция полином ньютон итерационный

Значение интеграла:. Метод Симпсона

Значение интеграла: .

Задание 4

Проинтегрировать уравнение методом Эйлера на интервале [0.2, 1.2]. Начальное условие у (0,2) =0,25.

Решение Все вычисления удобно представить в виде таблицы:

Таким образом, задача решена.

Задание 5

Задача 1. Вычислить сумму и разность комплексных чисел, заданных в показательной форме. Переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.

Задача 2. Вычислить произведение и частное комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости.

Задание 6.

Задача 1.

Задача 2.

Вычислить производную функции f (z) в точке .

Решение Так как для аналитических функций справедливы все формулы и правила дифференцирования действительного аргумента, то Вычислить интеграл по замкнутым контурам а) и б), считая обход контура в положительном направлении. Нарисовать область интегрирования, указать на рисунке особые точки.

Решение

а) Подынтегральная функция имеет особые точки:. Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:

б) Подынтегральная функция имеет особые точки:. Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:

.