Организация деятельности учащихся по овладению умением решать текстовые задачи

Вопросы для обсуждения.

• 1. Каковы достоинства и недостатки частного и общего подходов к обучению умениям решать текстовые задачи?
• 2. В чем различие между методом и способом решения задачи?
• 3. Какие этапы работы над задачей наиболее важны для выявления идеи решения?
• 4. Почему следует знать приемы обучения решению простых задач?
• 5. Как организовать учебный диалог, цель которого — выявить идею решения задачи?
• 6. 11адо ли учить школьников самостоятельному созданию моделей проблемных ситуаций знаками различных семиотических систем?

В методической литературе описаны два подхода к обучению детей умениям решать текстовую задачу: традиционный (частный) и общий. Суть частного подхода заключается в обучении решению задач через решение задач определенных типов. Суть общего — формировать умение решать задачи посредством перевода текста с естественного повседневного языка на язык математики в процессе синтаксического, семантического и логического его анализа (А. В. Белошистая, Н. Б. Истомина, В. С. Овчинникова и другие).

Чтобы научить решать типовые задачи, необходимо научить распознавать их, что не всегда просто, в особенности если описание проблемной ситуации несколько отличается от тех, в которых происходило знакомство с задачей данного типа. Например, текст задачи «Из букета взяли две ромашки и три василька. Сколько цветков взяли из букета?» А. В. Белошистая называет трансформированным, так как слово «взяли» ассоциируется с уменьшением, с операцией вычитания.

При традиционном подходе обучение решению простых задач тесно связано с уяснением детьми смысла арифметических действий. Так, в задачах на «нахождение суммы» дети сразу дают ответ, не используя арифметических действий. Ответ как таковой не является решением задачи в том смысле, который придается этому понятию в методике: «Научить детей решать задачи — значит научить их устанавливать связи между данными и искомыми и в соответствии с этим выбирать, а затем и выполнять арифметические действия»^[1]. Выделенные типы задач ориентируют учителя на систематическую работу «над группами задач, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и искомыми»^[2] и объяснительно-иллюстративный метод обучения.

Решение достаточного количества однотипных задач на основе возникающих ассоциаций формирует представление об арифметических действиях и неформальных связях этих действий с действиями в реальном мире, результаты которых можно узнать без непосредственного их выполнения. В то же время обучение решению типовых задач посредством упражнений ведет к трудностям переноса полученных знаний в ситуациях, отличных от тех, в которых они формировались.

В методике разработаны приемы обучения решению задач. Так, первоначально рисунок предметов, количественные характеристики которых составляют условие задачи, дается прямо в тексте. Тот факт, что ответить на вопрос задачи можно простым пересчетом, не является в данном контексте недостатком, напротив, этим раскрывается суть перевода информации, представленной в предметном виде, в знаково-символическую форму, способствуя уяснению смысла сложения.

Когда дети лучше владеют техникой чтения, предлагается текст задачи вначале читать полностью, затем отдельно условие и вопрос. Если в исходном тексте условие — это первое повествовательное предложение, а вопрос — следующее за ним вопросительное, то условие и вопрос выделяются просто. Возможно и предметное представление условными знаками известных числовых значений, например палочками, кружочками и т. п. По существу, происходит перевод исходного текста, описывающего проблемную ситуацию, на язык математических знаков посредством промежуточного перевода на предметный язык — язык знаков-икон.

Приведем пример работы над задачей.

Задача. «В цирке Катя съела две порции мороженого, а Таня — три порции. Сколько порций мороженого съели девочки в цирке?».

Учитель: Прочитайте текст задачи. Прочитайте условие задачи. Прочитайте вопрос задачи (дети читают).

Учитель: Сколько порций мороженого съела Катя?

Ученик'. 2 порции.

Учитель: Обозначим одну порцию мороженого палочкой. Как нарисовать порции мороженого, которые съела Катя?

Ученик: Двумя палочками. (Учитель рисует на доске и уточняет, где и как должны нарисовать эти палочки дети у себя в тетради, дети рисуют.).

Учитель: Как нарисовать, сколько порций мороженого съела Таня?

Ученик'. Надо нарисовать еще 3 палочки.

Учитель: Как показать на рисунке количество порций, которое съели обе девочки?

Ученик'. Обвести все палочки вместе.

Учитель'. Покажем дугой справа, сколько всего порций. Это требуется узнать, поставим знак вопроса.

Количество всех порций равно сумме 2 + 3. Почему выбрали действие сложения?

Ученик: Потому что надо узнать, сколько всего порций мороженого съели девочки.

Учитель: Как записать решение задачи?

Ученик'. 2 + 3 = 5 (п.).

Пример показывает, что описываемая текстом ситуация осознается в процессе создания промежуточного текста, предметно представляющего числовые данные, а выбор действия происходит одновременно с условнопредметным представлением данных и искомых. В то же время обращается внимание детей на ключевые слова, облегчая выбор действия при решении типовых задач.

Работа над текстом задачи может сопровождаться условной схемой, которая призвана не только оказать помощь ребенку в осознании ситуации, но и «подсказать» выбор действия. Например, для задачи «В букете было три ромашки, в него добавили еще четыре василька. Сколько цветков стало в букете?» выполняется схема, обозначающая целое и части искомого объекта (рис. 11.15).

Рис. 11.15. Кодирование сложения как суммы частей целого Практика показывает, что при самостоятельном решении задач дети не прибегают к построению схем либо потому, что она оказывается ненужной, так как решение известно, либо по причине неумения это делать. Схема обычно предъявляется в готовом виде, а ее отношение к подлежащей перекодированию информации не раскрывается, остается неизвестным значение «слов» языка графических знаков. С другой стороны, перевод сообщения с повседневного языка на язык графических знаков требует развитого пространственного мышления. Умение «читать» графический текст и «создавать» такой текст необходимо целенаправленно формировать, иначе схема выступает только средством обучения, но не средством решения задачи.

Простые задачи обладают немалым потенциалом формировать умение осуществлять переводы текста с повседневного языка на язык графических знаков и далее — на математический язык. Например, в задаче о цветках в букете процесс обучения созданию схем может быть таким.

Что сказано о букете? Из каких цветков он составлен? Какие цветки были в букете сначала? Что изменилось в составе букета? Перескажите все, что известно о букете. Пересказ может быть примерно таким: в букете сначала было три ромашки (рисуем три ромашки), потом в нем стало еще четыре василька (рисуем рядом четыре василька). Пересказ — это тоже перевод — новый способ выражения той же мысли. Обозначим отрезком количество ромашек в букете. Запишем их числовое значение. Еще одним отрезком обозначим количество васильков, запишем их числовое значение. Как с помощью этих отрезков обозначит количество цветков в букете? (Сложить отрезки.) Полученная схема «показывает», какое действие надо произвести, чтобы получить ответ на вопрос задачи. Каким выражением запишем, сколько цветков стало в букете? Это выражение — решение задачи. Какой ответ на вопрос задачи? (Семь цветков.) Почему? (Сумма 3 + 4 равна 7.).

Задача «После того как Миша вырезал три снежинки, ему осталось вырезать еще четыре. Сколько снежинок надо было вырезать Мише?» относится к группе выявления связей между компонентами и результатами действий. Схема строится также как в задаче о букете, и приводит к выбору действия сложения.

Особо выделяются задачи в косвенной форме: «У Тани семь конфет. Их на две меньше, чем конфет у Кати. Сколько конфет у Кати?» Примерная программа построения схемы такова: отрезком обозначим количество конфет у Тани; другим отрезком обозначим количество конфет у Кати (отрезком большей длины, у Кати конфет больше). Получаем схему на рис. 11.16, а.

Внимательный читатель заметил, что на этой схеме дискретные величины кодируются отрезками. Такая схема более проста в сравнении со схемой, представленной на рис. 11.16, б, на котором смысл сложения раскрывается в соответствии с определением сложения количественных чисел, и более точно передает связь с предметной ситуацией, описываемой текстом.

Рис. 11.16. Кодирование математической информации двумя способами В то же время представлений о сложении и умений осуществлять перекодирование информации, формируемых в процессе решения типовых задач, недостаточно для осмысления, например, ситуаций, описываемых в задачах: 1) «Ваня с Петей играли в шашки. Ваня выиграл три партии, четыре проиграл и не свел ни одной партии вничью. Сколько партий сыграли Ваня и Петя?»; 2) «В корзину с яблоками добавили шесть яблок. После того как несколько яблок из корзины взяли, в ней осталось на два яблока меньше, чем было первоначально. Сколько яблок взяли?».

Общий подход предполагает, что смысл действий раскрывается до обучения решению задач. Раскрыть смысл сложения и вычитания, а эта важнейшая цель курса математики, можно по-разному. Так, в системе «Школа 2100» смысл сложения чисел — мощностей конечных множеств — раскрывается согласно его определению: сумма чисел — мощностей конечных множеств — это мощность объединения непересекающихся множеств, мощности которых есть складываемые числа. На рис. 11.17 показано данное в учебнике (1 класс. Ч. 1. С. 38) объяснение (сравните с рис. 3.5 и 11.4).

Рис. 11.17. Объяснение смысла сложения По-другому проблема раскрытия смысла сложения и вычитания решается Н. Б. Истоминой, в системе обучения которой задача появляется только во 2-м классе. «Процесс решения задачи рассматривается как переход от словесной модели к модели математической или схематической»¹

За основу формирования представлений о смысле сложения и вычитания чисел-мощностей конечных множеств — Н. Б. Истомина предлагает выполнение учащимися предметных действий и их интерпретацию в виде графических и символических моделей. Процесс выполнения таких действий приводит учащихся к осознанию предметного смысла числовых выражений. Вместе с тем формируются представления об отношениях «больше (меньше) на несколько единиц», «на сколько больше (меньше)». Например, предлагается задание: «Пользуясь рисунком, вставь числа в «окошки» (рис. 11.18). Запись 3 + 1= 4 есть перевод информации о действиях над предметами на язык математических знаков.

Рис. 11.18. Задание с окошками Способ заполнения «окошек» вместе с рисунком открывает, считает Н. Б. Истомина, возможность различной интерпретации данной информации. Например: «Слева 3 гриба, справа 1, всего 3 н- 1 = 4», или «Справа 1 гриб, слева на 2 гриба больше, грибов слева 1 + 2 = 3», или «Было 4 гриба, 1 гриб несъедобный. Съедобных грибов 4 — 1 = З»^[3][4]

С целью приобретения опыта в анализе текстов задач используется прием сравнения. Для сравнения предлагаются, например, тексты задач с недостающими и избыточными данными, с вопросом о том, что известно.

Формированию умения выбирать арифметическое действие способствуют следующие приемы:

• • выбрать из предложенных к описанию ситуации вопросов те, на которые можно ответить;
• • выбрать из данных схем «правильную»;
• • среди данных выражений найти то, которое является решением задачи;
• • выбрать условие к данному вопросу;
• • дополнить текст задачи недостающими данными;
• • изменить текст так, чтобы задача решалась указанным выражением;
• • по данному тексту задачи объяснить, что можно узнать, выполнив указанные действия.

Организовать деятельность детей по формированию умений анализировать текст задачи можно, например, фронтально обсуждая, почему нельзя решить задачу: «В букете на две ромашки больше, чем васильков. Сколько васильков в букете?» Предложение детей дополнить условие задачи указанием количества васильков отвергается, так как вопрос задачи изменить нельзя. Выделение двух множеств: множества васильков и множества ромашек приводит к схеме (рис. 11.19), построение которой дополняется данным о количестве ромашек. Построение схемы происходит в соответствии с рассуждением: обозначим количество васильков. Количество ромашек на две больше, нарисуем это количество. Количество ромашек состоит из количества васильков и еще двух ромашек. Значит, чтобы найти количество васильков, надо знать количество ромашек. Вопрос, каким числом может быть количество ромашек, подводит детей к заключению, что это число должно быть больше двух. Принимаем предложенное детьми, например число 7. Задача формулируется так: «В букете на две ромашки больше, чем васильков. Сколько васильков в букете, если ромашек в букете семь?» Схема дополняется указанием количества ромашек.

Рис. 11.19. Дополнение информации средствами языка знаков-индексов Объясняется выбор действия: количество васильков — это такое число, к которому если прибавить 2, получим 7. Это число есть разность 7−2.

Педагогами-математиками в процессе решения задачи выделены несколько этапов:

анализ текста;

составление плана решения;

• • запись решения;
• • работа над задачей после ее решения.

Наиболее сложным этапом является анализ текста. В таком анализе можно выделить несколько целей и соответствующих способов их достижения. Первоначальная цель состоит в воспроизведении проблемной ситуации, описываемой текстом. Например, в задаче «За 3 ч лодка проплывает 3 км в стоячей воде, а бревно вниз по течению — 1 км. Сколько километров проплывет лодка за то же время вверх по течению?» воспроизведение проблемной ситуации устанавливает: 1) лодка и бревно двигаются одно и то же время; 2) лодка двигается в стоячей воде и проходит за это время 3 км, а бревно за то же время сносит течением на 1 км. Далее воспроизводится процесс, описываемый текстом: лодка двигается против течения то же самое время, пройденный ею путь уменьшается на столько километров, на сколько, течение за это же время сносит бревно. Этот текст допускает перевод информации о пути, пройденным лодкой против течения, на язык арифметики: 3−1.

В задаче «Видеокассета дороже аудиокассеты на 4 руб. Шесть видеокассет стоят столько же, сколько 10 аудиокассет. Сколько стоит каждая кассета?»^[5] воспроизведение проблемной ситуации, в которой величины связаны пропорциональной зависимостью, часто осуществляют ее представлением в таблице (табл. 11.1), строки которой — название объектов, столбцы — названия свойств (признаков) объектов.

Таблица 11.1

Информация о проблемной ситуации.

В данном случае непосредственный перевод на язык арифметики оказывается не прямым. Поэтому выдвигается новая цель: выявление отношений между величинами, характеризующими данные объекты. Ее достижение осуществляется переводом информации на язык графических знаков, язык знаков-индексов. Этот перевод можно осуществить по-разному. Например, предположив равенство количеств тех и других кассет: допустим, что их куплено по 6 штук. Такое предположение нетривиально и может осуществляться либо математически одаренными детьми, либо детьми, имеющими немалый опыт решения задач. Подсказки учителя в форме вопросов направляют мысль детей на рассуждение:

• • 6 видеокассет стоят дороже 6 аудиокассет на 40 • 6 руб.;
• • если к 6 аудиокассетам добавить еще 4, то стоимость 10 аудиокассет будет равна стоимости 6 видеокассет;
• • значит, «лишние» 4 аудиокассеты стоят столько, на сколько 6 видеокассет дороже б аудиокассет.

Данное рассуждение осуществляет преобразование (перевод) текста, описывающего проблемную ситуацию, в текст на том же языке, позволяющий кодировать эту информацию выразительными средствами языка знаков-индексов. Получаем схему (рис. 11.20), на которой стоимость 10 аудиокассет и 6 видеокассет обозначена равными отрезками в соответствии с условием задачи.

Рис. 11.20. Кодирование информации об отношении стоимостей аудиои видеокассет Можно нарисовать схему, которая прямо отражает условия задачи. Л именно, нарисовать стоимость всех аудиокассет десятью отрезками, обозначающими цену каждой, и стоимость видеокассет шестью отрезками большей длины, обозначающими цену видеокассеты так, что полученные отрезки равны. Разность отрезков, обозначающих цены, изображает 40 руб. Шесть таких разностей и есть стоимость 4 аудиокассет. Создание схемы, как всякий перевод, — творческая задача, именно здесь обнаруживается ключ решения, та идея, все дальнейшие этапы работы над задачей являются, в сущности, лишь ее проверкой.

Следующий этап: составление плана решения. Сначала найдем, на сколько аудиокассет больше, чем видеокассет, затем их стоимость, которая равна шести разностям между ценами кассет, затем цену аудиокассеты и цену видеокассеты.

Следующий этап: запись решения по действиям с указанием единиц величины:

• • 10 шт. — 6 шт. = 4 шт. (на столько больше купили аудиокассет);
• • 40 руб. • 6 = 240 руб. (стоимость четырех аудиокассет);
• • 240 руб./4 шт. = 60 руб./шт. (цена аудиокассеты);
• • 60 руб./шт. + 40 руб./шт. = 100 руб./шт. (цена видеокассеты).

В скобках поясняется, числовое значение какой величины нашли выполненным действием.

На этапе работы над задачей после ее решения могут быть следующие действия.

• • Проверка. 60 • 10 = 100 • 6. Ответ согласуется с условием, обе стоимости равны. Видом проверки является и решение задачи другим способом.
• • Изменение данных числовых значений (как изменился бы ответ, если бы цена видеокассеты была дороже на 50 руб.).
• • Составление и решение задачи, имеющей ту же логическую структуру, например: «Шесть коров дают в день столько же молока, сколько 10 коз. Одна корова дает на 10 л молока в день больше, чем одна коза. Сколько литров молока в день дает одна корова и сколько — одна коза?»
• • Составление и решение обратной задачи, в которой известное значение какой-либо величины предполагается искомым, а значения найденных величин — известными, например: «Видеокассета стоит 100 руб., а аудиокассета — 60 руб. Сколько видеокассет стоят столько же, сколько стоят 10 аудиокассет?» Ее решение также можно рассматривать как способ проверки.

Анализ синтаксической и логической структуры текста позволяет сформировать образ проблемной ситуации, выявить связи и отношения между величинами и их числовыми значениями. Так как текст задает математический объект, смысл которого выявляется в процессе перевода исходного сообщения с повседневного языка с дискретной характеристикой знаков на языки, знаки которых непрерывны (рисунок, схема), то анализ текста предполагает осуществление таких переводов. В то же время их можно трактовать как промежуточные (вспомогательные) модели проблемной ситуации, в которых наглядно представлены сами величины. Наглядные схемы прямо указывают перевод текста на язык математических знаков.

При этом возникают две тесно связанные проблемы: необходимость обучать детей переводу и формировать умения «читать» графический текст. Данные умения являются метапредметными и, согласно Стандарту, должны формироваться у младших школьников.

В методической литературе описаны два метода решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический метод осуществляется переводом текста на язык арифметических действий, алгебраический — переводом — на язык алгебры, составление уравнения. Само решение может осуществляться различными способами как в том, так и в другом случае.

Вопрос, какому из методов отдать предпочтение в методике, не имеет однозначного ответа. Так, в системе «Школа 2100» оба метода находят свое место в обучении. В каждом конкретном случае выбор метода зависит от решаемой задачи и от цели включения ее в образовательный процесс. Рассмотренная выше задача о кассетах легко переводится на язык алгебры: (х + 40) • 6 = х • 10, где х — цена аудиокассеты, но вряд ли такое решение целесообразно в начальной школе. «Легкость» перевода подготавливается опытом решения задач арифметическим методом.

Например, задача «В двух комнатах было 76 человек. Когда из одной комнаты вышли 30, а из второй 40 человек, то в обеих комнатах людей осталось поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?» решается рассуждением, которое приводит к арифметическому способу решения:

• 1) если людей в обеих комнатах осталось поровну после того как из первой вышли 30, а из второй 40 человек, то во второй комнате было на 10 человек больше, чем в первой;
• 2) разность 76 — 10 равна удвоенному числу людей в первой комнате;
• 3) 66/2 человек было первоначально в первой комнате, а 66/2 + 10, или 76 — 66/2, человек было первоначально во второй комнате.

Уравнение х — 30 = (76 — х) — 40, где х — количество людей в первой комнате, является непосредственным следствием рассуждения:

• 1) если в первой комнате было х человек, то во второй 76-х;
• 2) мосле того как из первой вышли 30, а из второй — 40 человек, количество людей стало равным.

В данном случае арифметический метод более привлекателен даже эстетически, кроме того, арифметическое решение способствуют развитию у младших школьников таких качеств мышления как гибкость, обратимость мыслительного процесса; правильность логически расчлененного рассуждения.

Многие задачи в курсе математики начальной школы арифметическим методом могут быть решены разными способами. Формально способы решения отличаются действиями, которые производятся над данными в условии числами, а содержательно — теми рассуждениями, которые ведут к построению плана решения. Например, задача для второклассников «Для праздника школьники изготовили 37 фонариков и 26 гирлянд. Несколько украшений они повесили в холле, а остальные в зале. Сколько украшений повесили в зале, если в холле повесили 23 украшения?» решается тремя способами:

Дети легко найдут все способы, если обратить их внимание на то, что в задаче не спрашивается, какие именно украшения фонарики или гирлянды, были повешены в зале, а простые задачи на нахождение суммы и остатка они должны решать, не затрудняясь, без опоры на вспомогательные схемы.

Среди составных задач особой «благосклонностью» в начальной школе пользуются задачи на движение: движение навстречу, движение в противоположных направлениях, движение вдогонку, движение по реке. Пропорциональная зависимость между пройденным путем и временем движения такая же, как и между произведенным продуктом, и временем работы; между стоимостью покупки, и количеством предметов. Многие другие величины находятся в такой же функциональной зависимости. Действительно, скорость — это величина, которая характеризует изменение некоторого объекта со временем. Поэтому можно говорить о скорости наполнения сосуда, скорости течения реки, скорости работы и др. Если этот процесс — движение того или иного объекта, то скорость характеризует изменение положения движущегося объекта со временем: чем больше скорость, тем быстрее, происходит изменение.

Основная методическая трудность в разъяснении содержания понятия «скорость». Принятое в учебниках определение скорости как пути, пройденного в единицу времени, вполне достаточно для решения школьных задач, а формула s = v? t как бы снимает все возникающие у детей трудности. Но содержательный смысл данного понятия при этом остается детьми недостаточно осознанным. Представление о скорости может формироваться, например, при решении следующих задач.

• 1. Каждую минуту улитка проползает 5 см, а гусеница — 6 см. Кто из них быстрее доберется до гриба, расстояние до которого от гусеницы и от улитки одинаковое и равно 30 см?
• 2. Улитка доползла до гриба за б минут, а гусеница за 5 мин. Кто полз быстрее, если до гриба они проползли одно и то же расстояние 30 см?
• 3. Улитка каждую минуту проползает 6 см, а гусеница 5 см. От кого из них гриб находится дальше, если до гриба они двигались одно и то же время — 5 мин?

Зависимость между данными величинами представлена на рис. 11.21, а—в соответственно.

Выводы, которые можно сделать при рассмотрении данных задач:

• • если в единицу времени движущийся объект проходит большее расстояние, то, чтобы пройти требуемое расстояние, ему потребуется меньше времени (чем быстрее идешь, тем быстрее пройдешь определенное расстояние);
• • если движущийся объект определенное расстояние проходит за меньшее время, то за единицу времени он проходит большее расстояние (чтобы прийти раньше, надо двигаться быстрее);
• • если в единицу времени движущийся объект проходит большее расстояние, то путь, пройденный за определенное время, больше (чем быстрее идешь, гем большее расстояние пройдешь за определенное время).

Путь, пройденный в единицу времени, называют скоростью движения. За единицу скорости принимают длину пути, пройденного за единицу времени, например за 1 ч, 1 мин, 1 с и др. Тогда единицами скорости могут быть километры в час, метры в минуту, сантиметры в секунду, километры в секунду и др. Записывают кратко: км/ч, м/мин, см/с, км/с.

Решение простых задач на движение уточняет зависимость между временем движения, длиной пройденного пути и скоростью движения.

Типы задач: а) нахождение суммы одинаковых слагаемых: «Пешеход шел со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние он пройдет за 3 ч?»; б) деление по содержанию: «Пешеход прошел 12 км со скоростью 4 км/ч. Сколько времени он шел?»; в) деление на равные части: «Пешеход за 3 ч прошел 12 км. С какой скоростью он шел?».

Перевод на язык знаков-индексов этих задача приведен на рис. 11.22, а—в соответственно.

На этапе работы над задачей после ее решения обсуждаем вопросы:

• • сколько километров прошел бы пешеход, если бы он шел 4 ч, 5 ч, 6 ч?
• • сколько времени двигался бы пешеход, если бы шел со скоростью 6 км/ч?
• • какова была бы скорость пешехода, если бы он шел 2 ч, 4 ч, 6 ч?

Рис. 11.22. Виды простых задач на движение

Среди составных задач на движение выделяют виды: «движение навстречу»; «движение в противоположных направлениях»; «движение вдогонку». Решение каждого из данных типов задач построено на рассуждении следующего вида:

• • при движении тел навстречу друг другу расстояние между ними каждую единицу времени уменьшается на сумму скоростей (скорость сближения);
• • при движении в противоположных направлениях разделяющее движущиеся тела расстояние увеличивается каждую единицу времени также на сумму скоростей;
• • при движении вдогонку расстояние между движущимися телами каждую единицу времени уменьшается на разность скоростей.

Приведем пример решения задачи.

Задача. Из п. А выходит турист и направляется в п. В. Расстояние между А и В — 145 км. В день он проходит по 20 км. Через 2 дня из п. В в п. А выходит другой турист, который проходит ежедневно по 15 км. Через сколько дней после выхода первый турист встретит второго?

Этап анализа задачи.

• • Какой процесс описан в задаче? (Движение навстречу.)
• • Что известно об этом процессе? (Расстояние между пунктами, из которых двигались навстречу друг другу туристы, средние скорости каждого в километрах в день, а также то, что второй турист вышел позднее первого.)
• • Что неизвестно? (Когда туристы встретятся — это требуется найти.)

• Как «нарисовать» схему этого процесса? (Рисуем отрезок, обозначающий расстояние между А и В, обозначим начало движения туриста из А и его скорость, точкой обозначим местоположение туриста в начале движения и его положение через день.)

• Как показать на схеме, что второй турист из В вышел на 2 дня позже первого? (Через 2 дня первый турист продвинется кВ, а второй только выходит из В.) Положение через 2 дня:

• Как показать на схеме положение туристов через 3 дня после выхода первого? (Расстояние между туристами сократится на 20 км + 15 км, гак как первый продвинется на 20 км, а второй — на 15 км.) Положение через 3 дня:

• • На сколько километров уменьшается расстояние между туристами каждый день после выхода второго? (Па сумму скоростей.)
• • Каково будет расстояние между туристами, когда они встретятся? (Расстояние станет равным нулю.)
• • Где находится точка встречи? (Ближе к В, второй турист двигается медленнее и вышел па два дня позднее.) Положение в момент встречи:

Этап составления плана решения.

• • На сколько километров должны сблизиться туристы, чтобы расстояние между ними стало равным нулю? (На столько километров, каково разделяющее их расстояние в момент выхода второго.)
• • Можем мы узнать, сколько дней будет двигаться первый турист до встречи? (Да, можем, если узнаем, сколько дней прошел до встречи второй турист.)
• • Что для этого нужно знать? (Расстояние между туристами в момент начала движения второго туриста.)
• • Можно ли узнать это расстояние? (Можно, так как можно узнать, сколько километров прошел первый турист за 2 дня и известно расстояние между Ли В.)

Этап записи решения.

• • 20 км/дн. • 2 дн. = 40 км;
• • 145 км — 40 км = 105 км;
• • 20 км/дн. + 15 км/дн. = 35 км/дн.;
• • 105 км: 35 км/дн. = 3 дн.;
• • 3 дн. + 2 дн. = 5 дн.

Ответ: через 5 дней после выхода первого туристы встретятся.

Этап работы над задачей после ее решения Проверка: 20 км/дн. • 5 дн. + 15 км/дн. • 3 дн. = 145 км.

• • Объясните, почему задача: «Бак вместимостью 145 л первые 2 ч заполняли через такой кран, через который каждый час вливается 20 л воды, а затем открыли второй кран, через который каждый час вливается 15 л воды. Через сколько часов от начала заполнения бак будет наполнен?» решается также.
• • Вместимость бака аналогична расстоянию, разделяющему туристов до начала движения; 2 ч работы первого крана аналогично 2 дн. движения туриста из А; 20 л/ч и 15 л/ч — это скорости наполнения бака, они аналогичны скоростям движения туристов.
• • Задача может быть решена алгебраическим методом. Пусть .г — время движения до встречи первого туриста. Тогда (х — 2) — время движения до встречи второго туриста. Расстояние, которое прошел первый турист до встречи: 20 • х.
• • Расстояние, которое прошел второй турист до встречи: 15 • (.г — 2). Получаем уравнение: 20 • х + 15 • (х — 2) = 145. Его решение: 35 • х = 175; х = 5.

Резюмируя, отметим, методическая наука не дает однозначных рекомендаций по обучению решению текстовых задач. Учителю важно помнить, что решение текстовых задач — прежде всего средство овладения фундаментальными математическими понятиями и математическими методами познания. В то же время в процессе решения задач формируются и совершенствуются важнейшие компоненты когнитивной сферы личности:

• • умение выдвигать гипотезы и предвидеть результат;
• • делать выводы из имеющихся фактов и наблюдений;
• • критически осмысливать результаты своих действий;
• • использовать знания в новых ситуациях;
• • понимать специальные тексты в процессе осуществления последовательных переводов исходного сообщения на язык знаков-икон, знаков-индексов (язык визуальной семантики), язык математических знаков.

Задания для самостоятельной работы

• 1. Объясните, почему решение текстовой задачи требует владения навыками чтения и понимания смысла арифметических действий. Подтвердите свое объяснение конкретными примерами заданий из учебника математики для 2-го класса системы «Школа России».
• 2. Приведите примеры типовых задач второй группы из учебника математики для 2-го и 3-го классов системы «Перспектива».
• 3. Сконструируйте фрагмент урока, цель которого обучение построению схемы на языке визуальной семантики при решении задачи типа «увеличение числа на несколько единиц», если числовые характеристики рассматриваемых в задаче величин: а) количественные числа; б) числа — меры непрерывной величины. Подготовьте презентацию.
• 4. Разработайте содержание работы над задачей «Петя за 10 мин вычислил значения шести сумм, а значений разности — на две меньше. Сколько всего вычислений выполнил Петя за 10 мин?» после ее решения. Какие из заданий, по вашему мнению, наиболее способствуют развитию творческих способностей? Подготовьте сообщение.
• 5. Постройте учебный диалог при проведении работы по сравнению задач: а) «В одной корзине 8 кг персиков, а в другой на 3 кг меньше. Сколько килограммов персиков во второй корзине?»; б) «В одной корзине 8 кг персиков, а в другой на 3 кг меньше. Сколько килограммов персиков в обеих корзинах?» Подготовьте сообщение.
• 6. Предложите варианты организации работы по решению задач разными способами: «Нужно перевезти 315 т пшеницы на элеватор на трех машинах. За сколько дней это можно сделать, если грузить на каждую по 3 т и делать по 5 рейсов в день?» Подготовьте сообщение.
• 7. Составьте несколько дополнительных заданий: а) для «сильных» учащихся, если основным заданием было решение задачи: «За 10 тетрадей заплатили столько же, сколько за 2 альбома. Цена тетради 100 руб. Какова цена альбома?»; б) для помощи учащимся в решении задачи: «В коридоре, длина которого 12 м, а ширина 3 м, покрывают нол плитками квадратной формы со стороной 4 дм. Сколько плиток потребуется?» Подготовьте сообщение.
• 8. Выпишите из учебника математики системы «Школа России» по одной простой задаче каждого вида на сложение и вычитание, на умножение и деление, заполните таблицу.

• 9. Докажите целесообразность введения единицы массы 1 кг/день при решении задачи: «За восемь дней в столовой израсходовали 24 кг масла. На сколько дней хватит 36 кг масла при той же норме расхода?» Постройте схему на языке визуальной семантики. Подготовьте сообщение.
• 10. Составьте фрагмент урока, обучающий детей строить таблицу, отражающую величины и их связи, описываемые в следующей задаче: «Расстояние между двумя городами 420 км автобус проходит за 6 ч, а мотоцикл — за 3 ч. Через сколько часов произойдет встреча автобуса и мотоцикла, если они выедут одновременно навстречу друг другу?» Подготовьте презентацию.
• 11. Предложите различные виды схем, из которых надо выбрать «правильную» при работе над задачей: «В одной бочке 15 ведер воды, а в другой 6 ведер. Сколько ведер воды стало в обеих бочках после того, как из одной взяли 2 ведра воды?» Подготовьте сообщение.
• 12. Какая из приведенных записей решения задачи «В одном букете восемь ромашек, а в другом пять васильков. В каком букете меньше цветов и на сколько?» является некорректной?
• а) 8 — 5 = 3 (р.);
• б) 8−5 = 3 (ц.);
• в) 8 ц. — 5 ц. = 3 ц.

Ответ: васильков на три меньше, чем ромашек.

• 13. Задачу «У Кати 12 кукол, а у Маши на три куклы больше. Сколько кукол у них вместе?» ученик решил так:
  • • 12 + 12 = 24 (к.);
  • • 24 + 3 = 27 (к.).

Как рассуждал ученик?

• 14. К задаче «Курица легче зайца на 4 кг, а заяц легче собаки на 8 кг. На сколько собака тяжелее курицы?» учитель предложил детям выбрать схему. Нарисуйте схемы, которые предложили бы вы.
• 15. Задачу «Из канистры взяли 6 л бензина. После этого бензина в канистре стало в два раза меньше, чем было. Сколько литров бензина было в канистре сначала?» некоторые ученики решили так:
  • • 6/2 = 3 (л);
  • • 6 + 3 = 9 (л).

Как убедить детей в неправильности решения? Какие методические приемы можно использовать для предупреждения подобной ошибки?

• 16. Постройте рассуждения, которые приводят к разным способам решения задачи: «Один рабочий изготавливает за день восемь деталей, а другой девять деталей. Сколько деталей они изготовят за три дня?».
• 1-й способ 2-й способ 3-й способ
• 1) 8 + 8= 16 (д.);
• 2) 16 -3 = 48 (д.);
• 3) 48 + 3 = 51 (д.).
• 1) 8 -3 = 24 (д.);
• 2) 9 • 3 = 27 (д.);
• 3) 24 + 27 = 51 (д.).
• 17. Объясните, почему следующие задачи могут быть предложены для формирования представлений о скорости: а) «Мастер изготавливает за 3 ч девять деталей. Сколько деталей он изготовит за 1 ч, если время изготовления каждой детали одинаковое?»; б) «Расстояние в 120 км поезд проходит за 3 ч. Какое расстояние в среднем он проходит за 1 ч?».
• 18. Как организовать деятельность детей, чтобы помочь им найти два способа решения задачи: «Если каждый рабочий собирает за смену 8 одинаковых деталей, то вместе они изготавливают 40 деталей. Сколько деталей должен изготавливать каждый рабочий, чтобы вместе они изготовили 80 деталей?»
• 19. Постройте рассуждение, необходимое для выражения скоростей в одной единице, при решении задачи: «Скорость ветра 2 м/с, а скорость орла в безветренную погоду 1800 м/мин. С какой скоростью полетит орел против ветра?»

• [1] Бантова М. Л., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математике в начальныхклассах. М.: Просвещение, 1984. С. 174.
• [2] Баптова М. А., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математике в начальныхклассах. С. 174.
• [3] Истомина Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах. М.: Академия, 2002. С. 20.
• [4] Там же. С. 35.
• [5] Истомина //. Б. Математика. 4 класс. Смоленск: Ассоциация XXI век, 1999. С. 227.