Линейные операторы. 
Математическое моделирование

Рассмотрим уравнение

где / и g — элементы линейных пространств V и W соответственно, а, А — отображение пространства V в пространство W. Если V и W — пространства функций, отображение, А будем называть оператором. Наша задача: зная geW и оператор А, определить, если это возможно, / еК. Договоримся сначала о терминах и определениях. Пусть V и W — линейные пространства, А — оператор, определенный на D (А)сК, со значениями в R (А) <= W . Если оператор, А таков, что любому g е R (А) соответствует единственный элемент /е D (А), то он называется взаимно однозначным (а также инъективным, или вложением). Если R{А) = W (т. е. область значений — все пространство W), то оператор, А называется сюръективным (или наложением). Если он к тому же взаимно однозначен, то в этом случае он называется биективным.

Рассмотрим некоторые примеры отображения, А :/?'—" R²:

• 1) у = Ах = х . Очевидно, R (A) = R^], и, А инъективен, следовательно, А — биекция;
• 2) у = Ах = х². Область значений R (A) = {у: у > 0}, следовательно, А нс сюръективен. Он также нс инъективен, так как отображает точки ±х в точку х²;
• 3) у = Ах = х (х² -1). Оператор сюръективен: R (A)-R^l, но не инъективен, а стало быть, и не биективен, так как точки 0,±1 отображаются в точку 0;
• 4) у = Аг = ехр (х). R (A) = {у :у > 0} - оператор не сюръективен, но взаимно однозначен (инъективен).

Многие операторы обладают свойством непрерывности. Оператор называется непрерывным в точке /₀, если всякую последовательность {/"}, сходящуюся к /₀, он отображает в последовательность {АД}, сходящуюся к АД, т. е.

Если оператор непрерывен в каждой точке / е D (А), то он называется непрерывным. Простейшей функцией, с которой начинается их изучение, является линейная функция. Аналогично простейшим оператором является линейный оператор (обозначим его буквой L), т. е. такой оператор, который линейную комбинацию элементов.

отображает в линейную комбинацию.

Очевидно, Z?(L) и D (L) должны быть линейными пространствами, чтобы определение имело смысл. Рассмотрим несколько примеров линейных операторов.

1. Часто встречающаяся задача — решение системы линейных алгебраических уравнений

сводится к виду L/ = g, если обозначить через L матрицу, элементами которой являются коэффициенты а_;/, через / - элемент (х, х₂,…, х") и через g — элемент (Ь_{, Ь₂,…, Ь_п). В этом случае L есть оператор, отображающий R" в R" . Он линеен и непрерывен.

2. В качестве примера интегрального оператора рассмотрим уравнение Фредгольма

где f, g е С°([а, 6]); к е С°([с/, 6]х[а, Ь]), к и g — заданные функции. Если определить оператоо L вьшажением.

то L будет линейным оператором L: С°([а, й]) —> к е С'([", 6]) и исходное уравнение запишется в виде Покажем, что этот оператор непрерывен в пространстве непрерывных функций с равномерной нормой. Пусть последовательность {/,}*_=| такова, что /" —" / е С^{[а, Ь]). Рассмотрим норму разности.

Очевидно, что интеграл в последнем выражении стремится к нулю при /, ->/.

3. Из разнообразных дифференциальных операторов рассмотрим сначала оператор дифференцирования.

Ясно, что этот оператор определен лишь на множестве функций, имеющих производную. Он линеен, что легко проверить, но не непрерывен. Для того чтобы это показать, нам достаточно найти один элемент, для которого непрерывность не имеет места. Выберем последовательность {/"}"_!, где f"=— sin (/jx). В пространстве непрерывных.

п

функций, определенных на [а, Ь] с равномерной нормой, эта последовательность стремится к нулю. Последовательность же hf_n = f'_n — cos (/u) нс сходится, т. с. непрерывность оператора дифференцирования в точке.

• —sin (/?x) нарушается. п
• 4. Рассмотрим тепепь лиЛЛепенииальное упавнение

где хе[п, й], а_х, а₂, а_г е /?'. Пусть g е С°([а, й]), тогда / должна принадлежать множеству функций, у которых существует вторая производная, т. е. С²([а, Ь]). Теперь мы можем рассмотреть линейный дифференциальный оператор L: С²{[а, Ь]) —" С°([а, А]), где Lf = a₀f + aj' + a₂f. Само уравнение при этом принимает «стандартный» вид Lf — g .

5. Рассмотрим, наконец, два специальных оператора. Пусть /е V, V — векторное пространство. Оператор I, такой, что f — /, V/ е V, называется единичным (тождественным) оператором (I:F—>F, f I—> f). Пусть W — еще одно векторное пространство (возможно, совпадающее с V). Оператор О, отображающий произвольный элемент /е V в нулевой элемент пространства IV, т. е. О/ = 0, называется нулевым оператором (О: V —> W, / н" 0).

Пусть задано опопятопноо упяянонио.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

где V и W — векторные пространства. Формально проблема решения этого уравнения сводится к отысканию (если это возможно) оператора L'¹, такого, что Если таковой оператор существует, то он называется обратным. Какими же свойствами должен обладать оператор L, чтобы было возможно построение обратного оператора L'? Рассмотрим следующие варианты.

• 1. Оператор L инъективен, или взаимно однозначен. В этом случае L"¹ существует, является линейным оператором из R (L) в D (L). Уравнение L/' = g имеет решение для g е /?(Ь) и не имеет решения для g € R (L).
• 2. Оператор L биективен. Здесь очевидно, что L"¹ существует для любого g е W и для любого g е W существует единственное решение.
• 3. Оператор L не инъективен, т. е. не взаимно однозначен. В такой ситуации построение оператора L^-1 невозможно, так как существует, по крайней мере, один элемент g е Л (Ь), для которого решение неединственно, т. е. имеется более одного решения.