Метод переменных направлений

На практике приходится иметь дело с многомерными задачами, когда необходимо учитывать изменение искомых функций по координатам х, у, z. Для таких задач выбор разностной схемы.

Таблица 4.2

является нетривиальным. Можно показать, что расчет по явной схеме до заданного момента времени Т с учетом связанных с устойчивостью ограничений на шаги требует по явной схеме порядка N^{p + 2} операций, а по неявной схеме — порядка N^3P «¹ операций. Здесь N — число точек на слое, а Р — пространственная размерность задачи. Для рассматриваемого здесь метода переменных направлений требуется N^{p + 1} операций. В табл. 4.3 представлено число операций для различных схем и различных пространственных размерностей Р задачи. Из таблицы следует, что для задач с пространственной размерностью больше единицы предпочтительным является метод переменных направлений.

Таблица 4.3

Метод переменных направлений рассмотрим на примере решения двумерного уравнения теплопроводности — уравнения параболического типа с двумя независимыми пространственными переменными.

Требуется найти решение этого уравнения внутри параллелепипеда [0 < х < а, 0 < у < Ь, 0 < t < Т] при начальном условии.

и граничных условиях на гранях параллелепипеда.

Идея метода переменных направлений состоит в сведении решения трехмерной задачи по переменным t, х и у к решению последовательности двумерных задач по переменным t, xut, у.

Построим разностную схему. Пусть х, h_x и h_y — соответственно шаги по t, х, у и х_т = mh_x, у_п = nh_y, t_k = kx; здесь т = О, М; п = 0, N; k = 0, К. Введем разностные операторы.

Аппроксимируя уравнение (4.37) разностным, можем записать.

где о — параметр разностной схемы, который может принимать значения от 0 до 1. Погрешность аппроксимации такой схемы 0(t^v, h²_x, Лр, где v = 2 при о = ½hv = 1 при а * ½. Для явной схемы, а = 0, для чисто неявной схемы о = 1.

Рассмотрим шаблоны, изображенные на рис. 4.15. Отметим, что шаблон 4.15, в не переносится на трехмерный случай.

Рис. 4.15.

Явная разностная схема (рис. 4.15, о).

устойчива при т/Л² < ¼ (полагаем Л = h_x = h_y). Схема позволяет по известным значениям функции на k-м временном слое найти решение на (k + 1)-м слое.

Неявная разностная схема (рис. 4.15, б)

абсолютно устойчива и позволяет определить решение на (k + 1)-м слое путем решения системы линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей, имеющей широкую слабо заполненную ленту. Как следует из табл. 4.3, явная и неявная схемы требуют при Р = 2 порядка N⁴ и порядка N⁵ операций соответственно, но и в том, и в другом случае необходимое число операций весьма велико. Между тем метод переменных направлений требует лишь N² операций.

Рассмотрим разностную схему метода переменных направлений. Для этого введем дополнительный промежуточный слой (k + ½) и следующую разностную аппроксимацию уравнения (4.37) на этом слое на шаблоне (рис. 4.15, в):

Согласно (4.42) вторая производная по х аппроксимируется на k-м слое, а по у — на (k + ½)-м слое. Поэтому на (k + ½)-м слое имеем только три неизвестных значения и^⁺_п^1/

^ит ;V? ^в каждом уравнении системы, хотя требуется найти (N ~ I)² неизвестных (полагаем N = М).

Итак, во-первых, на (k + ½)-м слое имеем систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей, которую можно записать в виде.

^{ГДе F}m. п ^{= u}m!n «(t/2~ f^{*]_n) ВЫЧИСЛЯвТСЯ ПО ИЗВвСТНЫМ значениям функции на k-гл слое. Присоединив к системе (4.43) значения и⁽* о'^/2> и известные из краевых условий, можем вычислить значения неизвестных на (k + ½)-м слое. Для этого путем решения системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей можно использовать такой эффективный метод решения, как метод прогонки (см. § 1.5).

Во-вторых, система линейных уравнений (4.43) распадается на М — 1 независимые трехдиагональные системы порядка М — 1 для каждого т. Независимое решение на (k + ½)-м слое при фиксированном значении т позволяет существенно уменьшить объем вычислений по сравнению с решением одной системы порядка (М — I)².

После того как найдены все неизвестные ⁺_п^½) на промежуточном слое, решение на (k + 1)-м слое определяется разностной аппроксимацией уравнения (4.36):

Соотношение (4.44) может быть переписано в виде.

вы;

где значение F"^[1]™ — - (т/2)№Д<⁺«^½>] - /<�»") + u^([1].V'^a) числяется по известным значениям функции на (k + ½)-м слое. Аналогично ситуации на предыдущем промежуточном слое система (4.45) с присоединенными граничными значениями распределяется на (N — 1) независимые трехдиагональные линейные системы, отвечающие фиксированным значениям п, каждая из.

Рис. 4.16.

которых решается методом прогонки. Однако здесь прогонка выполняется по индексу т, т. е. в направлении оси х. Отметим, что коэффициенты при неизвестных в уравнениях (4.43) и (4.45) таковы, что прогонка является корректной и устойчивой.

На рис. 4.16 схематически изображен переход с k-то слоя на (k + 1)-й слой с дробным шагом^[1] и указано направление прогонок (прямой и обратный ход).

Таким образом, в методе переменных направлений переход с известного 6-го слоя на искомый (k + 1)-й слой происходит с использованием дробного шага т/2 и промежуточного слоя (6 + ½). Разностная схема (4.42) и (4.44) в совокупности является абсолютно устойчивой, хотя при переходе с k-ro слоя на (6 + ½)-й модуль перехода |AJ > 1, поскольку схема (4.45) локально неустойчива. Однако при переходе со слоя (k + ½) на слой k модуль перехода |XJ < 1 и общее значение модуля перехода |Л| = |XJ • |XJ оказывается меньшим единицы.

Отметим, что существуют так называемые локально-одномерные схемы (или схемы расщепления), в которых на промежуточном (k + ½)-м слое отсутствуют и аппроксимация, и устойчивость. Тем не менее при переходе со слоя k на {k + 1)-й слой результирующая схема становится аппроксимирующей и устойчивой. Например, для уравнения (4.37) при / = 0 предложена' локально одномерная разностная схема: при переходе от k-ro слоя к (к + ½)-му решение имеет вид.

с порядком аппроксимации 0(т, Л²), при переходе с (k + ½)-го слоя на (k + 1)-й — соответственно.

с порядком аппроксимации 0(т, Л²). На промежуточных слоях ни одна из схем (4.46) и (4.47) не является аппроксимирующей, хотя результирующая схема — аппроксимирующая и устойчивая с порядком аппроксимации 0(т, /г²).

• [1] Метод переменных направлений носит также название методадробных шагов.
• [2] Метод переменных направлений носит также название методадробных шагов.
• [3] Метод переменных направлений носит также название методадробных шагов.