Модель случайного блуждания

Случайный процесс Х (со, t), определенный на множестве

где h > 0, называется случайным блужданием (randomwalk), если выполняются следующие условия:

• 1) Х (со, ?₀) = х_у где х — некоторое заданное вещественное число;
• 2) Х (со, ?₀+ kh) = Х (со, t₀ + (k — 1 )h) + М-Дсо), k = 1, 2, …, где случайные величины р^со), Р2(^ш)> •••> Р&(^со)> ••• независимы и могут принимать с равной вероятностью противоположные значения, т. е.

Сечением процесса случайного блуждания в произвольный момент времени t₀ + kh является дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей которой представлен в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Распределение вероятностей сечения процесса случайного блуждания.

Случайное блуждание Х (со, t) является нестационарным процессом с независимыми приращениями, при этом основные характеристики процесса определяются следующими соотношениями:

На рис. 2.1 изображены траектории для первых десяти моментов времени случайного блуждания в случае, когда х = 25, Д = 2. Жирной линией выделена одна из возможных траекторий случайного блуждания (реализация процесса).

Рис. 2.1. Траектории случайного блуждания (х = 25, Д = 2).

Процесс случайного блуждания стал одним из первых случайных процессов, с помощью которых исследователи пытались строить модели, в той или иной степени адекватно описывающие изменение цен активов различного типа на финансовых рынках. В 1930;х гг. вслед за классическим исследованием Б. Грэхема и Д. Додда^[1] появилось несколько работ, в которых проводился эмпирический анализ различных финансовых характеристик. В большинстве этих работ авторы предпринимали попытки найти ответ на основной вопрос относительно возможности предсказания цен на финансовые и товарные активы.

Однако первая попытка математического описания динамики курсовой стоимости X, акций, обращающихся на открытом рынке, основывающаяся на подходах теории вероятностей, была предпринята Л. Башелье (Bachelier) в его диссертации, опубликованной в 1900 г. В свой работе Башелье впервые предложил рассматривать процесс ценообразования Х₍ как случайный процесс. Проведя подробный статистический анализ экспериментальных данных цен на парижском рынке Xj^h t = 0, h, 2h, …, с фиксированным интервалом h, он заметил, что приращения, или первые разности процесса, Х^-Х¹ имеют нулевое среднее и флуктуации | Х⁽/^ — Х^ |, пропорциональные 4h-Известно, что таким свойством обладает случайное блуждание X, _+kh = X_/fi+(k__])h +Ц/, где независимые одинаково распределенные случайные величины Цд принимают два равновероятных значения ±afh. Предельный переход при /г —"0 приводит к случайному процессу.

где W_t — рассмотренное Л. Башелье броуновское движение, для которого Н. Винер в 1923 г. построил развитую математическую теорию. Однако процесс ценообразования, предложенный Башелье, не получил широкого распространения прежде всего потому, что, как очевидно из уравнения (2.2), он допускает, хотя и в большинстве случаев с незначительной вероятностью, возможность отрицательных цен, а это противоречит естественным предположениям о характере ценообразования.

В более поздних работах, посвященных статистическому исследованию ценовых данных, анализу подвергались не сами цены, л логарифмы цен, точнее, их приращения за небольшие промежутки времени. Первые исследования содержали выводы о том, что приращения.

логарифмов цен Х_к, фиксируемых с заданным дискретным шагом, являются, но всей видимости, независимыми. Это, в свою очередь, означает, что последовательность (#")">₀, где.

имеет характер случайного блуждания.

К сожалению, подобные подходы к моделированию процессов цен не получили должной поддержки в среде практиков того времени, в которой бытовало устойчивое мнение, что цены следуют определенным циклам, волнам и т. п., выявление которых могло дать единственно возможную базу для прогнозирования будущих значений цен. Только в 1953 г. в работе М. Кендалла^[2] на основе анализа большого объема данных о результатах торгов различными активами на Чикагской и Нью-Йоркской биржах за период, охватывающий почти всю вторую четверть XX в., было показано, что логарифмы цен ведут себя как случайное блуждание. Другими.

X

словами, если 8_/? =1п——, то Х_п =Х₀е^и", п> 1, где Н_п является суммой.

Х*-1

независимых случайных величин Sj, 5_/г

Несмотря на то что гипотеза случайного блуждания далеко не сразу была принята для описания динамики изменения цен, именно она привела к классической концепции эффективного рынка, т. е. рынка, на котором в ценах торгуемых активов заключена вся имеющаяся информация. На рынке такого типа любая новая информация должна повлечь немедленную коррекцию цен, которые устанавливаются таким образом, чтобы лишить участников рынка возможности совершения арбитражных операций — получения безрисковой прибыли за счет разницы в ценах.

Рассмотрим вопрос о том, как реальные ценовые данные согласуются с моделью случайного блуждания и тем самым с гипотезой эффективного рынка. В качестве примера возьмем динамику стоимости акций Сбербанка России, торгуемых на Московской бирже за период с 1 по 15 сентября 2015 г., что соответствует десяти периодам изменения цен указанных акций. На рис. 2.2 представлен график логарифма цен сделок (жирная линия) и траектории процесса случайного блуждания с параметрами х = 4,29, А = 0,007.

Рис. 2.2. График изменения логарифма цены акций Сбербанка России за период с 1 по 15 сентября 2015 г., наложенный на траектории случайного блуждания с параметрами х = 4,29, Д = 0,007.

Из графика следует, что фактическое изменение логарифмов цен на акции Сбербанка России достаточно хорошо укладывается в рамки концепции случайного блуждания. Однако следует заметить, что для практического применения соответствующей модели необходимо исследовать вопрос устойчивости параметров случайного процесса во времени. Дело в том, что современные финансовые рынки характеризуются сильной нестабильностью параметров, входящих в те или иные стохастические процессы ценообразования. Особенно ярко указанный факт проявляется на так называемых развивающихся рынках, к которым относится и российский фондовый рынок. В случае если такая устойчивость не имеет места, модель случайного блуждания (как и любая другая), сохраняя качества, объясняющие поведение участников рынка капитала, становится непригодной для прогнозирования будущих изменений цен.

• [1] Graham В., Dodd D. Security analysis. 1934 (последнее издание — 6th ed. McGraw-Hill, 2006).
• [2] Kendall М. G. The analysis of economic time-series. Part I. Prices // Journal of the RoyalStatistical Society. 1953. Vol. 116. P. 11—34.