Метод анализа размерностей при построении физических моделей

Рассмотренный в предыдущем подразделе пример не представлял трудностей в вопросе выбора языка для описания изучаемой системы. Однако дело не всегда обстоит так просто и, как отмечалось выше, выбор физических понятий и величин, в терминах которых формулируется вербальная модель, зачастую является решающим моментом, определяющим успех или неудачу модели в плане отражения наиболее интересных и важных свойств системы.

Рассматривая сложную физическую систему, необходимо изначально с помощью качественных и эвристических соображений выявить набор параметров, определяющих ее свойства, что позволяет уже на самом раннем этапе построения модели вчерне наметить ее место в общей иерархии моделей, относящихся к данному явлению или процессу. Одним из наиболее эффективных приемов на этом пути является метод анализа размерностей.

В основе анализа физических размерностей лежит так называемая л-теорема. Не останавливаясь на формальном доказательстве, поясним ее сущность. Формулы размерностей физических величин выражаются в виде одночленов от размерностей основных величин, на которых построена используемая система единиц.

Например,.

где М — символ массы, L — символ длины и Т — символ времени. Так, размерность энергии есть Л/Z,² Г^-2, силы MLT~² и т. д.

В общем случае какая-либо размерная величина а является функцией других размерных величин а_и а_ъ …, а":

Пусть равенство (2) выражает какой-либо физический закон или соотношение, не зависящее от единиц измерения. Считаем, что среди размерных величин а_и …, а_п только первые к (к < п) имеют независимые размерности.

Согласно я-теореме теории размерностей функциональная связь типа (2) между (п + I) размерными величинами, независимая от используемой системы единиц измерения, может быть записана как соотношение между (п + 1 — к) безразмерными величинами Я, Я, …, Я"_ь представляющими собой безразмерные комбинации из л + 1 размерных величин а, а_х, а_ъ …, а_п:

При этом величины а, а_и а₂, а_п связаны с Я, Я, …, П_п._к

следующими соотношениями:

Показатели степеней /и, …, m_k, /j, …, /*, …, р_к в выражениях (4) те же, что в соответствующих формулах размерностей для размерно зависимых величин а, а_ь а₂, …" а_п, например в формуле

Если число параметров, определяющих свойства рассматриваемой системы, равно числу основных единиц измерения, т. е. п = к, то из величин а_]у а₂, …, а_п нельзя образовать безразмерной комбинации. Для размерности некоторой величины а имеем в этом случае соотношение (5), которое будет выполняться при условии, что для величины а справедливо равенство Здесь С — безразмерная постоянная, а показатели степени /я_ь

т_п определяются из уравнения размерностей правой и левой частей написанного равенства. Таким образом, в этом случае зависимость (2) определяется однозначно с точностью до постоянной С.

Если число параметров больше числа основных единиц измерения, то основные уравнения модели предпочтительнее записывать в безразмерной форме с учетом тг-теоремы. При этом, как правило, удается выявить те безразмерные постоянные и переменные параметры, от которых фактически зависит решение задачи. В общем случае система определяющих параметров всегда может быть сведена к следующему набору:

Процедура обезразмеривания, или масштабирования, всегда полезна при изучении математических моделей, поскольку может дать важную предварительную информацию об объекте. Безразмерные величины Я_ь …, П_п__к называются параметрами, или критериями подобия, поскольку разные по своим масштабам, но одинаковые по своей природе явления и процессы ведут себя качественно одинаково при заданном наборе параметров /7_Ь …, П_п__к и одинаково изменяются при их изменении.

Инвариантность моделей по отношению к системе единиц измерения — это частный случай более общих свойств их симметрии. Не останавливаясь на этом вопросе более детально, отметим еще раз, что существует хорошо разработанный и широко применяемый подход к исследованию подобия моделей, основанный на инвариантно-групповом методе анализа дифференциальных уравнений. Большинство дифференциальных уравнений, использующихся в математическом моделировании реальных явлений, остаются инвариантными при определенных преобразованиях входящих в них независимых переменных и искомых функций.

Идеи обезразмеривания играют исключительно важную роль не только при анализе описывающих модель уравнений, но и при самом выборе языка, т. е. тех величин и понятий, в терминах которых производится описание рассматриваемых явлений и процессов.

Следующим шагом в формулировке вербальной модели явления является установление иерархии временных масштабов, характерных для рассматриваемой системы. Установление этой иерархии позволяет, с учетом возможности проведения реальных измерений над системой, выбрать те физические (или химические, биологические и т. д.) величины, в терминах которых проводится сокращенное описание системы, и сформулировать вербальную модель явления. При этом практически реализуется идеализация изучаемой системы, т. е. устанавливается, чем именно пренебрегается в рамках формулируемой модели. Здесь особое внимание должно уделяться установлению соответствия между фигурирующими в описании модели величинами и значениями этих величин, полученными в результате проводимых измерений над системой. В дальнейшем этот вопрос будет рассмотрен подробнее.

В случае физических систем выявление характерных временных масштабов также может быть проведено с использованием метода анализа размерностей. На основе выбранных основных параметров, определяющих свойства системы, устанавливаются параметры, имеющие размерность времени. Продемонстрируем установление характерных временных масштабов на примере двух физических систем — газа нейтральных молекул и плазмоподобной классической среды. В случае газа, состоящего из электрически нейтральных молекул, которые взаимодействуют друг с другом посредством короткодействующих сил, такими основными параметрами будут средняя концентрация п молекул, масса т одной молекулы, ее радиус R и температура Г, которую удобно измерять в энергетических единицах 0 = кТ, где к — постоянная Больцмана. Элементарными рассуждениями можно убедиться в том, что единственным независимым безразмерным параметром у будет.

Действительно, записав выражение для у в виде.

и выписав соответствующее равенство размерностей, видим, что и = 0, поскольку размерность величины 0 содержит время, которое отсутствует в размерности основных параметров и, следовательно, не может сократиться. Но тогда и х = 0, поскольку в отсутствие величины 0 не может сократиться и входящая в размерность массы величина Л/, отсутствующая в размерностях п и R. Но из оставшихся величин п и R можно построить единственную независимую безразмерную комбинацию (8).

При у «: 1 газ сильно разрежен и подобен по своим свойствам идеальному газу; при у ~ 1 молекулы почти плотно прилегают друг к другу. Такая ситуация называется плотной упаковкой. Очевидно, что в этом случае свойства модели идеального газа будут иметь мало общего со свойствами рассматриваемого реального газа.

Теперь не представляет труда записать общее выражение для всех параметров, характерных для данной системы и имеющих размерность времени:

где <�р (у) — произвольная функция безразмерного параметра у. Соотношение (10) позволяет с помощью простых качественных соображений установить все характерные временные масштабы системы.

Полагая <�р (у) = 1, получим временнбй параметр t_c:

который на основе элементарных соображений можно отождествить с временем корреляции, поскольку t_c равно времени взаимодействия двух нейтральных молекул, эффективно осуществляющегося, пока молекулы находятся вблизи друг от друга: движущиеся с характерной тепловой скоростью (у) = yjQ/m молекулы за время t_c проходят путь, равный их линейным размерам R.

Далее можно ввести время релаксации t_n обратно пропорциональное концентрации п частиц газа, для чего следует выбрать ф (у) = Y" ¹:

Сравнивая выражения (11) и (12), приходим к соотношению.

Видно, что при у «: 1, т. е. в случае разреженного газа, характерные временные масштабы 1_С и усильно различаются, и можно ожидать, что в системе возможны различные неравновесные процессы, характеризующиеся различными временными масштабами. Соответственно, будут различными и математические модели, описывающие эти процессы, и фигурировать в этих моделях будут различные физические величины.

Еще более интересная и выразительная ситуация реализуется в газе заряженных частиц — плазмоподобной среде. Элементарные соображения показывают, что для возможности удержания такой системы в ограниченном объеме она в целом должна быть электрически нейтральной. Это означает квазинейтральность плазмоподобной среды в рамках любого малого, но макроскопического объема.

Простейшая модель электронейтральной в целом плазмоподобной среды — это однокомпонентная система зарядов (например, электронов) и однородный компенсирующий фон с зарядом противоположного знака. При рассмотрении плазменных свойств металлов такая модель получила название «желе». В случае классической плазмоподобной среды, описываемой такой моделью, набор определяющих параметров тот же, что и в случае нейтрального газа, только параметр R заменяется на квадрат электрического заряда е². Дальнодействующий характер кулоновского потенциала исключает возможность априорного появления в наборе определяющих параметров какого-нибудь параметра с размерностью длины.

Из параметров т, п, е² и 0 можно составить только одну независимую безразмерную комбинацию.

Легко видеть, что у представляет собой отношение потенциальной энергии взаимодействия двух зарядов, находящихся на среднем расстоянии /Г^1/3 друг от друга, к характерной энергии 0 теплового движения, поэтому условие у 1 соответствует газовому приближению. Наиболее общей формой параметра, имеющего размерность времени, в данном случае будет.

Анализ выражения (15) показывает, что теперь нет параметра, который можно было бы непосредственно трактовать как время корреляции — время взаимодействия двух зарядов между собой. Однако теперь появляется характерный временной параметр t_p, не зависящий от скорости движения частиц. Действительно, полагая в (15) ф (у) = у" ^½, получаем.

Единственным характерным временем, не зависящим от скорости движения, является период гармонических колебаний, поэтому результат (16) немедленно приводит к мысли о возможности гармонических колебаний в системе. Такая возможность легко подтверждается качественными соображениями о характере упорядоченного движения частиц при нарушении локальной квазинейтральности в результате неустранимого хаотического теплового движения. Таким образом, анализ размерностей приводит к теоретическому предсказанию возможностей плазменных колебаний с частотой, определяемой соотношением.

Эти же соображения приводят к идее динамического экранирования дальнодействующего кулоновского взаимодействия. Действительно, произведение характерной тепловой скорости.

(и) = yjQ/m частиц на период плазменных колебаний, определяемый формулой (16), дает параметр r_D с размерностью длины, который соответствует максимальному расстоянию, на которое может переместиться частица в результате действия кулоновских сил, порождающих колебания в системе:

Параметр r_D получил название радиуса экранирования кулоновского взаимодействия. Соотношение (18) позволяет интерпретировать параметр t_p как аналог времени корреляции в системе электрически нейтральных частиц, так как t_p имеет смысл времени взаимодействия частиц, находящихся друг от друга на расстоянии, равном радиусу экранирования кулоновского взаимодействия.

Итак, дебаевский радиус — верхний предел для микроскопического взаимодействия, поэтому время отдельного микроскопического взаимодействия между заряженными частицами не может превышать период плазменных колебаний.

С помощью соотношения (15) можно ввести параметр с размерностью времени, обратно пропорциональный концентрации частиц, т. е. имеющий смысл времени релаксации t_r Полагая в (15) ср (у) = у¹/², получим.

С помощью (16) и (19) приходим к соотношению, связывающему параметры t_p и /_г:

При у «: 1 в системе имеются два различных временных масштаба, что указывает на возможность использования двух различных моделей для описания неравновесных явлений. Как будет показано ниже, эти две различные модели соответствуют кинетическому и гидродинамическому приближениям в теории плазменных явлений.

Установление иерархии временных масштабов может производиться не только методом анализа размерностей. В ряде случаев иерархия временных масштабов и, соответственно, иерархия математических моделей возникает в результате сравнения относительной роли различных факторов, определяющих свойства системы. В качестве примера рассмотрим задачу о движении атмосферных воздушных масс, течение которых описывается уравнениями газовой динамики с учетом силы тяжести Земли и сил инерции, возникающих в уравнениях вследствие неинерциальности системы отсчета, связанной с вращающейся вокруг своей оси Землей.

При исследовании конкретных атмосферных явлений могут быть построены различные модели, существенно более простые по сравнению с исходной гидродинамической моделью, учитывающей все возможные взаимодействия в системе. Система уравнений, описывающая динамику атмосферы, включает в себя уравнение непрерывности.

выражающее закон сохранения массы, и уравнение движения.

Кроме того, возможно записать уравнение баланса энергии при происходящих в атмосфере процессах, что позволяет замкнуть систему уравнений в наиболее общей модели движения воздушных масс. Мы не будем выписывать это уравнение, имея в виду обсуждение более простых моделей при движении «сверху вниз».

В уравнениях (21) и (22) использованы обозначения: р — плотность воздуха; v — скорость потока воздуха относительно Земли; Т — тензор напряжений, учитывающий как давление, так и вязкие напряжения (в основном, турбулентного происхождения); g — ускорение свободного падения, которое может считаться постоянным по модулю в пределах тропосферы, толщина которой составляет величину порядка 10 — 20 км; Q — угловая скорость вращения Земли. Второе и третье слагаемые в правой части уравнения (22) соответствуют инерционной центробежной силе и силе Кориолиса соответственно.

Нетрудно оценить относительную роль входящих в уравнение (22) сил, используя значения входящих в него параметров. Ускорение свободного падения g= 9,8 м/с², радиус Земли R = 6,4 10⁶ м; угловая скорость вращения Земли ?2 = 7,3 10^-5 с" ¹. В результате получаем, что действующая на единицу массы центробежная сила на экваторе равна Q²R = 3,4 • 10'³ м/с², а сила Кориолиса при скорости ветра и = 10 м/с составляет 2Q.U = 1,45 10^_3 м/с². Как видно, при таких условиях доминирующей является сила тяжести. Однако при рассмотрении движения воздуха в горизонтальной плоскости в правой части уравнения (22) остается только сила Кориолиса.

Движение, на которое существенно влияет вращение Земли, называется крупномасштабным. Мера этого влияния характеризуется числом Кибеля — Росси K_t:

где L — характерный пространственный масштаб воздушного потока. Если К, < 1, то вращение Земли следует учитывать в уравнении движения, а само движение является крупномасштабным. Например, при v = 10 м/с и движении с пространственным масштабом L = 10³ км число Kj = 0,068 (такое движение считается крупномасштабным). Этот критерий на самом деле означает определенное соотношение между двумя временными масштабами. Действительно, переписав условие К, — < 1 в виде I/O. < L/v, видим, что крупномасштабные движения имеют временной масштаб, превосходящий период вращения Земли.

Разобранный пример показывает, что атмосферные движения, при моделировании которых в уравнении следует учитывать силу Кориолиса, должны иметь достаточно большой пространственный масштаб (> 100 км).

В случае более сложных систем, например биологических, установление иерархии временных масштабов представляет более сложную задачу. Это означает, что привлечение определенных экспериментальных данных должно осуществляться на более раннем этапе, чем в случае динамических систем, когда простые качественные оценки, как правило, могут быть выполнены до анализа имеющихся экспериментальных данных.

Установление иерархии временных масштабов — не единственный возможный путь создания иерархии моделей, описывающих рассматриваемую систему. Возможно установление иерархии других величин, например иерархии характерных длин, что иногда может оказаться более естественным и наглядным. Однако в действительности иерархию любых характерных величин, построенных с помощью определяющих систему параметров, можно свести к иерархии соответствующих временных масштабов. В качестве элементарного примера можно рассмотреть радиусы корреляции и релаксации, которые можно установить с помощью соотношений (11) и (12).

Задачи и упражнения

• 1. Покажите с помощью элементарных оценок, что плазмоподобная среда может быть локализована внутри ограниченного объема только в том случае, когда в целом она электрически нейтральна. Как строго доказать справедливость этого утверждения?
• 2. Покажите, что единственный независимый безразмерный параметр, который можно построить из величин т, п, е² и 0, определяется соотношением (14).
• 3. Приведите качественные соображения, позволяющие интерпретировать параметр t_p> определяемый соотношением (16) как время корреляции в простейшей модели «желе» плазмоподобной среды.

Литература

: [8], [14].