Математическая модель гетероэлектроконвекции

Пусть и — ширина и длина канала обессоливания, соответственно, — соответствует условной межфазной границе анионообменная мембрана/раствор, тогда — соответствует условной межфазной границе катионообменная мембрана/раствор, — входу, а — выходу из камеры обессоливания. Начальное распределение скорости в гладком канале предполагается Пуазейлевским:

.

где — средняя (линейная) скорость прокачивания раствора, Размеры канала обессоливания в электромембранных системах весьма разнообразны. На практике используются электродиализные аппараты с каналами обессоливания с шириной около одного миллиметра, а длиной достигающей десятки сантиметров. В экспериментальных электрохимических ячейках канал обессоливания имеет, например, размеры мм, мм.

Электроконвекция, по крайней мере, в начальной стадии, при небольшом превышении плотности тока над предельной диффузионной плотностью тока, развивается в растворе, вблизи межфазных границ ионообменная мембрана/раствор. При этом электроконвекция вблизи каждой из мембран происходит независимо друг от друга. Вследствие этого свойства электроконвекцию можно изучать вблизи одной из мембран. В данной работе будем рассматривать часть канала около анионообменной мембраны с шириной мм и длиной мм (рис. 1).

а) б).

Рисунок 1. Геометрия областей: а) с гомогенной мембраной, б) с гетерегенной мембраной. Участки непроводимости (полиэтилен) выделены черным цветом.

Размеры областей проводимости 80 мкм и непроводимости 20 мкм, т. е. соотношение этих областей равно 80:20.

Для моделирования гетероэлектроконвекции будем использовать систему уравнений Нернста-Планка-Пуассона и Навье-Стокса, с учетом пространственной силы, связывающую их. Векторная запись этой системы для бинарного электролита, в случае отсутствия химических реакций, имеет вид:

(1).

(2).

(3).

(4).

(5).

(6).

где — градиент, — оператор Лапласа, — плотность силы электрического поля, — скорость течения раствора электролита, — характерная плотность раствора, — давление, — диэлектрическая проницаемость электролита, — постоянная Фарадея, — газовая постоянная, — абсолютная температура, — время, — коэффициенты кинематической вязкости. При этом — неизвестные функции, зависящие от времени и координат,. В системе уравнений (1)-(6) уравнения (1)-(4) описывают электрохимические поля, а уравнения Навье-Стокса (5), (6) описывают движение раствора под действием пространственной электрической силы.

После некоторых преобразований уравнения (1)-(6) можно записать в виде.

(7).

(8).

(9).

(10).

(11).

Будем исследовать потенциодинамический режим, предполагая проводящую поверхность анионообменной мембраны эквипотенциальной, исключая непроводящую фазу. Наряду с этим условием будем использовать следующие граничные условия:

1) На участках проводимости поверхности анионобменной мембраны будем считать граничную концентрацию анионов равной фиксированному заряду внутри мембраны:

(12).

Кроме того, предположим анионообменную мембрану идеально селективной, т. е. непроницаемой для катионов:

(13).

Для скорости на поверхности анионообменной мембраны используем условие прилипания.

• 2) Будем считать, что правая граница находится в ядре потока, где концентрации катионов и анионов, а также величина скорости постоянны.
• 3) На входе в канал обессоливания будем считать заданными концентрацию ионов и скорость течения раствора. В зависимости от целей исследования, они могут считаться распределенными либо постоянно, либо распределенными по другому закону, например концентрацию можно считать постоянной, а течение на входе Пуазейлевским.

Будем считать, что концентрации на входе удовлетворяют условию электронейтральности. Для потенциала на входе используем условие.

.

4) На выходе из рассматриваемой области для концентрации будем использовать условие, означающее, что ионы выносятся из канала только за счет конвективного течения:

Для потенциала будем использовать условие.

.

5) Начальные условия при зависят от целей исследования, но они должны быть согласованными, с остальными граничными условиями.