Передаточная функции дискретной системы

Наряду с разностным уравнением для описания динамических свойств дискретной системы используется передаточная функция. Передаточной функцией H (z) дискретной системы называется отношение изображения Y (z) выходной последовательности у (н) к изображению X (z) входной последовательности х (п) при нулевых начальных условиях:

Передаточную функцию можно получить, применив z -преобразование к разностному уравнению. При этом учитывают свойства z-преобразования.

Пример. Рассмотрим дискретную систему первого порядка, описываемую разностным уравнением

Подвергнув каждое слагаемое z-преобразованию при нулевых начальных условиях (уф—1)=0), получим.

Отсюда согласно определению найдем.

Рассмотрим разностное уравнение общего вида.

Подвергнув каждое слагаемое z -преобразованию при нулевых начальных условиях, получим уравнение системы в области изображений

Из сказанного выше следуют простые правила определения передаточной функции по разностному уравнению (и наоборот):

• коэффициенты разностного уравнения Ь_; при х (п — j) являются коэффициентами при z~^k полинома числителя передаточной функции;

• коэффициенты разностного уравнения я₍ при у (п — /) являются коэффициентами при z~^k полинома знаменателя передаточной функции.

Наряду с записью передаточной функции в виде (8.6) используется и другая форма записи, получаемая путем умножения числителя и знаменателя на д^Л :

Корни v, v₂,…, v_v уравнения.

называют нулями передаточной функции. Легко видеть, что (N-M) нулей располагаются в начале координат, а остальные могут быть как вещественными, так и комплексными.

Корни А., Д₂,…Д_Л, уравнения.

называют полюсами передаточной функции. Полюсы могут принимать вещественные и комплексные значения. Если все числа А., Д₂,…Д^ различны, то полюсы функции называются простыми. Если же среди этих чисел встречаются одинаковые, то соответствующие полюсы называются кратными.

Передаточную функцию (8.7) темы можно представить в виде