Рекурсивные цифровые фильтры второго порядка

Рекурсивный цифровой фильтр второго порядка описывается разностным уравнением.

Передаточная функция фильтра имеет вид.

Фильтр имеет два нуля и два полюса. Условия устойчивости фильтра записываются в виде системы неравенств для коэффициентов.

характеристического полинома A (z)=z +a_xz+a₂:

Значения коэффициентов а₀, а_х, удовлетворяющие данным неравенствам, лежат внутри треугольника (рис. 10.3), называемым областью устойчивости фильтра.

Рис. 10.3. Область устойчивости рекурсивных ЦФ второго порядка.

После подстановки z=e^ja, где со=соТ — нормированная частота, получим частотную передаточную функцию.

Граничные значения АЧХ, соответствующие значениям частоты ю=0 и &>=п определяются соответственно выражениями:

Фильтр нижних частот

Рассмотрим частный случай, когда граничные значения АЧХ фильтра равны: #(1)=1 и Я (-1)=0. Тогда из формул (10.2) получим соотношение, которому должны удовлетворять коэффициенты передаточной функции:

При мер. Зададим значения коэффициентов полинома знаменателя из области устойчивости на рис. 10.3: Я|=-0,9; а₂ = 0,3. При этом полюсы цифрового фильтра будут равны Я.,=0,45−1-/0,312; Х₂ =0,45-/0,312 .

По полученной выше формуле рассчитаем значение коэффициента /э, =0,2. Значения коэффициентов Ь_п и Ь₂ должны удовлетворять условию b₀+b₂-0,2. Примем b₀=b₂= 0,1. При этих значениях коэффициентов фильтр имеет нули v, =v, =—1.

Нуль-полюсная диаграмма и частотные характеристики цифрового ФНЧ второго порядка с данными параметрами показаны на рис. 10.4.

Рис. 10.4. Характеристики цифрового ФНЧ второго порядка: а — нуль-полюсная диаграмма; б — АЧХ и ФЧХ.