Исследование операций и Теория систем
Иерархичность. Совокупность управляющих элементов, датчиков, аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность управляемого движения в воздухе. Рассматривается модель движения жесткого летательного аппарата самолетного типа. В качестве исследуемого аппарата взят некий гипотетический самолет современного типа. Так как в модели нас интересует функции каждого элемента… Читать ещё >
Исследование операций и Теория систем (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра Системы управления
Курсовая работа
по курсу
Исследование операций и Теория систем Выполнил: Пушников А.А.
Группа: ПС-669
Проверила Плотникова Н.В.
Дата"____"____________2006г.
Челябинск
2006г
Теория систем Модели системы Модель черного ящика Модель состава Модель структуры Структурная схема Динамическая модель Классификация модели Закономерности модели Исследование операций Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Теория систем
Модели системы
Рассматривается модель движения жесткого летательного аппарата самолетного типа. В качестве исследуемого аппарата взят некий гипотетический самолет современного типа.
Модель черного ящика
К входам системы относятся управляющие органы летательного аппарата и возмущения окружающей среды. Рассматриваемый самолет обладает органом управления тягой двигателя и аэродинамическими рулями: элероны, закрылки, руль направления и высоты (рис. 1). Так же на самолет влияет скорость ветра, температура и плотность окружающего воздуха.
Рисунок 1. Рулевые органы ЛА
К выходам ЛА относятся данные, полученные с датчиков самолета. Непосредственно измеряется положение летательного аппарата в пространстве относительно нормальной системы координат, для этого используются датчики углового положения и система глобального позиционирования (GPS). Так же измеряются угловые скорости, угловые ускорения, линейные скорости и линейные ускорения (перегрузки).
Модель состава
Модель движения летательного аппарата можно разбить на следующие подсистемы и элементы:
· Аэродинамика летательного аппарата. Выражает воздушный поток вокруг самолета. Воздействие воздушного потока заключается в создании сил и моментов.
· Момент и сила тяги, вызываемые двигателем.
· Поступательное движение. Вычисляется скорость движения самолета в связной системе координат.
· Вращательное движение. Вычисляются угловые скорости самолета в связанной системе координат.
· Навигация. Вычисляет положение самолета в нормальной системе координат.
· Угловое положение. Через углы Эйлера или матрицу направляющих косинусов.
· Показания датчиков.
· Сигналы управляющих приводов. Положение ручка тяги, закрылок, элеронов, руля высоты и направления.
Модель структуры
Структура движения летательного аппарата определяется отношениями между следующими парами элементов, указанны прямые отношения (табл. 1).
Таблица 1
Аэродинамические моменты | Угловые скорости | |
Аэродинамические силы | Угловые скорости | |
Аэродинамические силы | Аэродинамические моменты | |
Момент, вызываемый двигателем | Угловые скорости | |
Сила тяги | Скорость движения самолета | |
Сила тяги | Момент, вызываемый двигателем | |
Скорость движения самолета | Навигация | |
Навигация | Показания датчиков | |
Скорость движения самолета | Показания датчиков | |
Угловые скорости | Показания датчиков | |
Сигналы управляющих приводов | Аэродинамические моменты | |
Сигналы управляющих приводов | Аэродинамические силы | |
Сигналы управляющих приводов | Момент и сила тяги, вызываемые двигателем | |
Угловое положение | Угловые скорости | |
Структурная схема
Так как в модели нас интересует функции каждого элемента системы, рассмотрим структурную схему в зависимости от сил и моментов, действующих на модель (рис. 2).
Рисунок 2. Структурная схема.
Динамическая модель
Обозначения:
набор входных воздействий (входов) в системе — вектор управления (вход системы);
набор выходных воздействий (выходов) в системе — набор данных получаемых с датчиков будет выходом системы;
набор параметров, характеризующих свойства системы, постоянные во всё время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, — конструктивные и неконструктивные параметры летательного аппарата;
набор параметров, характеризующих свойства системы, изменяющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния) — линейные и угловые скорости, положение в пространстве и угловое положение, аэродинамические силы и моменты, силы и моменты в двигателе;
параметр (или параметры) процесса в системе — t;
правило — нелинейная зависимость скоростей и положения в пространстве летательного аппарата от вектора управления;
правило — нелинейная зависимость показаний датчиков от вектора управления, скоростей и положения в пространстве летательного аппарата;
правило — нелинейная зависимость показаний датчиков от скоростей и положения в пространстве.
Тогда модель может быть записана так:
Классификация модели
Классификация системы:
по их происхождению — искусственная система, машина;
по описанию входных и выходных процессов — c количественными переменными, непрерывная, детерминированная система;
по описанию оператора системы — параметризованная, разомкнутая, нелинейная;
по способам управления — система управляемая извне, с управлением типа регулирование;
Закономерности модели
1. Целостность. Совокупность аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность движения в воздухе.
2. Иерархичность. Совокупность управляющих элементов, датчиков, аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность управляемого движения в воздухе.
3. Коммуникативность. На полет летательного аппарата действуют температура окружающей среды, скорость и направление ветра, плотность воздуха и др.
4. Эквифинальность. Рано или поздно, самолет вынужден будет приземлится или разобьется. Т.о. скорости, ускорения, моменты и силы будут равны нулю.
Исследование операций
Задача 1
Авиакомпания «Небесный грузовик», обслуживающая периферийные районы страны, располагает А1 самолетами типа 1, А2 самолетами типа 2, А3 самолетами типа 3, которые она может использовать для выполнения рейсов в течение ближайших суток. Грузоподъемность (в тысячах тонн) известна: В1 для самолетов типа 1, В2 для самолетов типа 2, В3 для самолетов типа 3.
Авиакомпания обслуживает два города. Первому городу требуется тоннаж в С1, а второму — в С2 т. Избыточный тоннаж не оплачивается. Каждый самолет в течение дня может выполнить только один рейс.
Расходы, связанные с перелетом самолетов по маршруту «центральный аэродром — пункт назначения», обозначены символом aij, где первый индекс соответствует номеру города, а второй — типу самолета.
А1=8, А2 = 15, А3 =12, В1 = 45, В2 = 7, В3 = 4, С1 = 20 000, С2 = 30 000, a11= 23,
a12 = 5, a13 = 1.4, a21 = 58, a22 = 10, a23 =3.8.
Решение
1. Составим математическую модель задачи. Возьмём в качестве целевой функции расходы на перелеты самолетов (соответственно, необходима минимизация целевой вункции), а в качестве переменных — число рейсов в день xij, где первый индекс соответствует номеру города, а второй — типу самолета.
Целевая функция:
Ограничений задачи:
Основная задача линейного программирования:
2. Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:
Составим симплекс — таблицу:
bi | x11 | x12 | x13 | x21 | x22 | x23 | |||||||||
7/5 | 19/5 | ||||||||||||||
y1 | |||||||||||||||
y2 | |||||||||||||||
y3 | |||||||||||||||
y4 | — 20 000 | — 45 | — 7 | — 4 | |||||||||||
y5 | — 30 000 | — 45 | — 7 | — 4 | |||||||||||
bi | x11 | x12 | x13 | x21 | x22 | x23 | |||||||||
7/5 | 19/5 | ||||||||||||||
— 150 | — 10 | — 10 | |||||||||||||
y1 | |||||||||||||||
y2 | |||||||||||||||
y3 | |||||||||||||||
y4 | — 20 000 | — 45 | — 7 | — 4 | |||||||||||
y5 | — 30 000 | — 45 | — 7 | — 4 | |||||||||||
bi | x11 | x12 | x13 | x21 | y2 | x23 | |||||||||
— 150 | — 5 | 7/5 | — 10 | 19/5 | |||||||||||
— 228/5 | — 19/5 | — 19/5 | |||||||||||||
y1 | |||||||||||||||
x22 | |||||||||||||||
y3 | |||||||||||||||
y4 | — 20 000 | — 45 | — 7 | — 4 | |||||||||||
y5 | — 29 895 | — 45 | — 4 | ||||||||||||
bi | x11 | x12 | x13 | x21 | y2 | y3 | |||||||||
— 978/5 | — 5 | — 12/5 | — 10 | — 19/5 | |||||||||||
— 58 | — 58 | ||||||||||||||
y1 | |||||||||||||||
x22 | |||||||||||||||
x23 | |||||||||||||||
y4 | — 20 000 | — 45 | — 7 | — 4 | |||||||||||
y5 | — 29 847 | — 45 | |||||||||||||
bi | x11 | x12 | x13 | y1 | y2 | y3 | |||||||||
1342/5 | — 35 | — 5 | — 12/5 | — 58 | — 10 | — 19/5 | |||||||||
x21 | |||||||||||||||
x22 | |||||||||||||||
x23 | |||||||||||||||
y4 | — 20 000 | — 45 | — 7 | — 4 | |||||||||||
y5 | — 29 487 | ||||||||||||||
Ответ: Задача не имеет допустимого решения
Задача 2
№ вар | с1 | с2 | с3 | с4 | с5 | с6 | b1 | b2 | b3 | Знаки ограничений | a11 | a12 | a13 | a14 | |||
— 2 | = | = | = | — 1 | |||||||||||||
№ вар. | a15 | a16 | a21 | a22 | a23 | a24 | a25 | a26 | a31 | a32 | a33 | a34 | a35 | a36 | Тип экстр. | ||
— 1 | max | ||||||||||||||||
1. Основная задача линейного программирования:
Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:
2. Составим симплекс — таблицу:
bi | x1 | x2 | |||||
— 4 | — 6 | ||||||
x3 | — 1 | ||||||
x4 | |||||||
x5 | — 1 | ||||||
3. Решим задачу линейного программирования.
bi | x1 | x2 | |||||
— 4 | — 6 | ||||||
— 3 | |||||||
x3 | — 1 | ||||||
— 0.5 | 0.5 | ||||||
x4 | |||||||
— 1 | 0.5 | — 0.5 | |||||
x5 | — 1 | ||||||
— 0.5 | 0.5 | ||||||
bi | x1 | x3 | |||||
— 7 | |||||||
21/4 | 21/4 | — 21/8 | |||||
x2 | — 0.5 | 0.5 | |||||
3/8 | 3/8 | — 3/16 | |||||
x4 | 1.5 | — 0.5 | |||||
¾ | ¾ | — 3/8 | |||||
x5 | 0.5 | 0.5 | |||||
— 3/8 | — 3/8 | 3/16 | |||||
bi | x4 | x3 | |||||
53/4 | 21/4 | 3/8 | |||||
x2 | 11/8 | 3/8 | 5/16 | ||||
x1 | ¾ | ¾ | — 3/8 | ||||
x5 | 13/8 | — 3/8 | 11/16 | ||||
Оптимальное решение найдено.
Ответ: F=53/4, x1=¾, x2=11/8, x3=0, x4=0, x5=13/8, x6=0.
Задача 3
№ вар. | а1 | а2 | а3 | с11 | с12 | с13 | ||||||
№ вар. | с14 | с15 | с21 | с22 | с23 | с24 | с25 | с31 | с32 | с33 | с34 | с35 | |
Исходные данные:
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | ||
A1 | |||||||
A2 | |||||||
A3 | |||||||
bi | |||||||
Определение опорного плана задачи
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | ||
A1 | |||||||
A2 | |||||||
A3 | |||||||
bi | |||||||
L=5000+9000+6400+2500+4200=27 300
r+m-1=7>5 это вырожденный случай.
Определение оптимального плана
1.
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | ||
A1 | 200+e1 | ||||||
e1 | |||||||
A2 | |||||||
A3 | 200+e2 | ||||||
e2 | |||||||
bi | 300+e1 | 100+e2 | 600+e1+e2 | ||||
2.
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | ||
A1 | 200+e1 | ||||||
200+e1 | |||||||
A2 | |||||||
A3 | 200+e2 | ||||||
e2 | |||||||
bi | 300+e1 | 100+e2 | 600+e1+e2 | ||||
3.
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | ||
A1 | 200+e1 | ||||||
200+e1 | |||||||
A2 | |||||||
200-e2 | 100+e2 | ||||||
A3 | 200+e2 | ||||||
e2 | |||||||
bi | 300+e1 | 100+e2 | 600+e1+e2 | ||||
4.
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | ||
A1 | 200+e1 | ||||||
e2+e1 | 200-e2 | ||||||
A2 | |||||||
300-e2 | 100+e2 | ||||||
A3 | 200+e2 | ||||||
e2 | |||||||
bi | 300+e1 | 100+e2 | 600+e1+e2 | ||||
5. Результат
6.
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | ||
A1 | 200+e1 | ||||||
e2+e1 | 200-e2 | ||||||
A2 | |||||||
300-e2 | 100+e2 | ||||||
A3 | 200+e2 | ||||||
e2 | |||||||
bi | 300+e1 | 100+e2 | 600+e1+e2 | ||||
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | ||
A1 | |||||||
A2 | |||||||
A3 | |||||||
bi | |||||||
Так в системе нет положительных чисел, то найденный план называется оптимальным.
Ответ: F=19 100
Задача 4
№ | b1 | b2 | c11 | c12 | c22 | extr | a11 | a12 | a21 | a22 | p1 | p2 | Знаки огр. | ||
— 1 | — 1 | max | = | ||||||||||||
Приведем систему к стандартному виду:
Определение стационарной точки:
Очевидно, что данные координаты не удовлетворяют условиям ограничений.
1. Проверка стационарной точки на относительный max или min:
Стационарная точка является точкой относительного максимума.
2. Составление функции Лагранжа:
3. Применим теорему Куна-Таккера:
Нахождение решения системы:
Перепишем эту систему, оставив все переменные в левой части:
Из уравнения 3 системы следует, что x1=8-x2:
Тогда:
Для обращения неравенств системы в равенства введём V1, V2, W и преобразуем систему:
Запишем условия дополняющей нежесткости:
4. Метод искусственных переменных:
Введем искусственные переменные, в первое и второе уравнения со знаками, совпадающими со знаками соответствующих свободных членов:
Далее решаем полученную задачу линейного программирования, для этого из 1 и 2 уравнений выражаем переменные, и принимаем их в качестве базисных.
Составляем симплекс-таблицу:
bi | x2 | u1 | u2 | V1 | V2 | ||||||||
— 17M | — 4M | — M | — M | M | |||||||||
M | M | 0.5M | — 0.5M | — 0.5M | |||||||||
z1 | — 1 | ||||||||||||
0.5 | — 0.5 | — 0.5 | |||||||||||
z2 | — 1 | — 1 | |||||||||||
0.5 | — 0.5 | — 0.5 | |||||||||||
W | — 1 | ||||||||||||
bi | x2 | z2 | u2 | V1 | V2 | ||||||||
— 16M | — 3M | 0.5M | — 0.5M | — M | 0.5M | ||||||||
3M | 3M | 1.5M | — 1.5M | — 1.5M | |||||||||
z1 | 0.5 | 0.5 | — 0.5 | ||||||||||
— 3 | — 3 | — 1.5 | 1.5 | 1.5 | |||||||||
u1 | 0.5 | — 0.5 | — 0.5 | ||||||||||
0.5 | — 0.5 | — 0.5 | |||||||||||
W | — 1 | ||||||||||||
0.5 | — 0.5 | — 0.5 | |||||||||||
bi | u1 | z2 | u2 | V1 | V2 | ||||||||
— 13M | 3M | 2M | — 2M | — M | — M | ||||||||
13M | — 3M | M | 2M | M | M | ||||||||
z1 | — 3 | ||||||||||||
— 3 | |||||||||||||
x2 | 0.5 | — 0.5 | — 0.5 | ||||||||||
W | 0.5 | — 0.5 | — 0.5 | ||||||||||
bi | u1 | z2 | u2 | z1 | V2 | ||||||||
3M | M | ||||||||||||
V1 | — 3 | ||||||||||||
x2 | 0.5 | — 0.5 | — 0.5 | ||||||||||
W | 0.5 | — 0.5 | — 0.5 | ||||||||||
u1=u2=z1=z2=V2=0
V1=13
x2=1
W=9
x1=8-x2=7
Ответ: x2=1, x1 =7,
Список используемой литературы
1. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. — Москва: Издательство МГТУ имени Баумана Н. Э., 2000 г. — 436с.
2. Плотникова Н. В. «Исследование операций» Часть 1. Линейное программирование.
3. Плотникова Н. В. «Лекции по курсу теория систем»